11. int _(c)xe^xds Céo segmento de reta de (0,0,0) a (1,2,3) 12. int _(C)(x^2+y^2+z^2)ds C: x=t,y=cos2t,z=sen2t

Vamos corrigir e detalhar os cálculos para as integrais de linha dadas.<br /><br />### 11. \(\int_{C} xe^{x} \, ds\)<br /><br />Para o segmento de reta \(C\) de \((0,0,0)\) a \((1,2,3)\), podemos parametrizar \(C\) como:<br />\[ \mathbf{r}(t) = \langle t, 2t, 3t \rangle \]<br />onde \(0 \leq t \leq 1\).<br /><br />A curvatura \(ds\) é dada por:<br />\[ ds = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dz}{dt}\right)^2} \, dt \]<br /><br />Calculamos as derivadas:<br />\[ \frac{dx}{dt} = 1, \quad \frac{dy}{dt} = 2, \quad \frac{dz}{dt} = 3 \]<br /><br />Então,<br />\[ ds = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} \, dt = \sqrt{1 + 4 + 9} \, dt = \sqrt{14} \, dt \]<br /><br />A integral de linha é:<br />\[ \int_{C} xe^{x} \, ds = \int_{0}^{1} t e^{t} \sqrt{14} \, dt \]<br /><br />Simplificamos:<br />\[ \sqrt{14} \int_{0}^{1} t e^{t} \, dt \]<br /><br />Usamos integração por partes, onde \(u = t\) e \(dv = e^t dt\):<br />\[ du = dt, \quad v = e^t \]<br /><br />Aplicando a fórmula de integração por partes:<br />\[ \int_{0}^{1} t e^{t} \, dt = \left. t e^{t} \right|_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{t} \, dt \]<br /><br />Calculamos os termos:<br />\[ \left. t e^{t} \right|_{0}^{1} = 1 \cdot e^1 - 0 \cdot e^0 = e - 0 = e \]<br />\[ \int_{0}^{1} e^{t} \, dt = e - 1 \]<br /><br />Portanto,<br />\[ \sqrt{14} \left( e - (e - 1) \right) = \sqrt{14} \cdot 1 = \sqrt{14} \]<br /><br />### 12. \(\int_{C} (x^2 + y^2 + z^2) \, ds\)<br /><br />Para a curva \(C\) dada por \(x = t\), \(y = \cos(2t)\), \(z = \sin(2t)\), onde \(0 \leq t \leq \pi\):<br /><br />Calculamos \(ds\):<br />\[ ds = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dz}{dt}\right)^2} \, dt \]<br /><br />Derivadas:<br />\[ \frac{dx}{dt} = 1, \quad \frac{dy}{dt} = -2\sin(2t), \quad \frac{dz}{dt} = 2\cos(2t) \]<br /><br />Então,<br />\[ ds = \sqrt{1^2 + (-2\sin(2t))^2 + (2\cos(2t))^2} \, dt = \sqrt{1 + 4\sin^2(2t) + 4\cos^2(2t)} \, dt = \sqrt{1 + 4(\sin^2(2t) + \cos^2(2t))} \, dt = \sqrt{5} \, dt \]<br /><br />A integral de linha é:<br />\[ \int_{C} (x^2 + y^2 + z^2) \, ds = \int_{0}^{\pi} (t^2 + \cos^2(2t) + \sin^2(2t)) \sqrt{5} \, dt \]<br /><br />Simplificamos:<br />\[ \sqrt{5} \int_{0}^{\pi} (t^2 + 1) \, dt \]<br /><br />Integramos:<br />\[ \sqrt{5} \left[ \frac{t^3}{3} + t \right]_{0}^{\pi} = \sqrt{5} \left( \frac{\pi^3}{3} + \pi - 0 \right