12) 0 vetor overrightarrow (v) de módulo 3, forma ângulos agudos iguais com os versores overrightarrow (i),overrightarrow (j),overrightarrow (k) Se alpha =(overrightarrow (v),overrightarrow (i)) beta =(overrightarrow (v),overrightarrow (j)) e gamma =(overrightarrow (v),overrightarrow (k)) calcular cosalpha ,cosbeta ,cosgamma e as coordenadas x, y,z do vetor overrightarrow (v)

Para calcular as coordenadas x, y e z do vetor $\overrightarrow{v}$, podemos usar as definições de $\alpha$, $\beta$ e $\gamma$ dadas na pergunta.<br /><br />Sabemos que $\alpha = (\overrightarrow{v}, \overrightarrow{i})$, $\beta = (\overrightarrow{v}, \overrightarrow{j})$ e $\gamma = (\overrightarrow{v}, \overrightarrow{k})$ representam os ângulos agudos que o vetor $\overrightarrow{v}$ forma com os versores $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$ e $\overrightarrow{k}$, respectivamente.<br /><br />Podemos usar a definição de produto escalar para calcular as coordenadas do vetor $\overrightarrow{v}$. O produto escalar de dois vetores $\overrightarrow{u}$ e $\overrightarrow{v}$ é dado por $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = |\overrightarrow{u}| \cdot |\overrightarrow{v}| \cdot \cos(\theta)$, onde $\theta$ é o ângulo entre os vetores $\overrightarrow{u}$ e $\overrightarrow{v}$.<br /><br />Usando essa definição, podemos escrever:<br /><br />$\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{i} = |\overrightarrow{v}| \cdot \cos(\alpha) = 3 \cdot \cos(\alpha)$<br /><br />$\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{j} = |\overrightarrow{v}| \cdot \cos(\beta) = 3 \cdot \cos(\beta)$<br /><br />$\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{k} = |\overrightarrow{v}| \cdot \cos(\gamma) = 3 \cdot \cos(\gamma)$<br /><br />Como $\overrightarrow{v}$ é um vetor unitário, suas coordenadas são dadas por:<br /><br />$x = \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{i} = 3 \cdot \cos(\alpha)$<br /><br />$y = \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{j} = 3 \cdot \cos(\beta)$<br /><br />$z = \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{k} = 3 \cdot \cos(\gamma)$<br /><br />Portanto, as coordenadas do vetor $\overrightarrow{v}$ são $(3 \cdot \cos(\alpha), 3 \cdot \cos(\beta), 3 \cdot \cos(\gamma))$.