Um terreno de forma triangular tem frente de 10m e 20m, em ruas que formam, entre si um ângulo de 120^circ A medida do terceiro lado do terreno, em metros, é: A) 10surd 5 B) 10surd 6 C) 10surd 7 D) 26 E) 20surd 2

Para encontrar a medida do terceiro lado do terreno triangular, podemos usar a lei dos cossenos. A fórmula é:<br /><br />\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C) \]<br /><br />Onde:<br />- \( a \) e \( b \) são os comprimentos dos lados conhecidos (10m e 20m)<br />- \( C \) é o ângulo entre esses lados (120°)<br />- \( c \) é o comprimento do terceiro lado que queremos encontrar<br /><br />Substituindo os valores na fórmula:<br /><br />\[ c^2 = 10^2 + 20^2 - 2 \cdot 10 \cdot 20 \cdot \cos(120°) \]<br /><br />Sabemos que \(\cos(120°) = -\frac{1}{2}\), então:<br /><br />\[ c^2 = 100 + 400 - 2 \cdot 10 \cdot 20 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \]<br />\[ c^2 = 100 + 400 + 200 \]<br />\[ c^2 = 700 \]<br /><br />Agora, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar \( c \):<br /><br />\[ c = \sqrt{700} \]<br />\[ c = \sqrt{100 \cdot 7} \]<br />\[ c = 10\sqrt{7} \]<br /><br />Portanto, a medida do terceiro lado do terreno é \( 10\sqrt{7} \) metros.<br /><br />A resposta correta é:<br />C) \( 10\sqrt{7} \)