8. Qualé a solução da equação sqrt ((x)/(4-x))=sqrt ((4-x)/(2)),comxneq 4

Para resolver a equação \(\sqrt{\frac{x}{4-x}} = \sqrt{\frac{4-x}{2}}\), vamos seguir os seguintes passos:<br /><br />1. **Elevamos ambos os lados da equação ao quadrado para eliminar as raízes:**<br /><br />\[<br />\left(\sqrt{\frac{x}{4-x}}\right)^2 = \left(\sqrt{\frac{4-x}{2}}\right)^2<br />\]<br /><br />Isso nos dá:<br /><br />\[<br />\frac{x}{4-x} = \frac{4-x}{2}<br />\]<br /><br />2. **Multiplicamos ambos os lados da equação por \(2(4-x)\) para eliminar o denominador:**<br /><br />\[<br />2(4-x) \cdot \frac{x}{4-x} = 2(4-x) \cdot \frac{4-x}{2}<br />\]<br /><br />Isso simplifica para:<br /><br />\[<br />2x = (4-x)(4-x)<br />\]<br /><br />3. **Expandimos e reorganizamos a equação:**<br /><br />\[<br />2x = (4-x)^2<br />\]<br /><br />\[<br />2x = 16 - 8x + x^2<br />\]<br /><br />\[<br />0 = x^2 - 8x + 16 - 2x<br />\]<br /><br />\[<br />0 = x^2 - 10x + 16<br />\]<br /><br />4. **Resolvemos a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:**<br /><br />\[<br />x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}<br />\]<br /><br />onde \(a = 1\), \(b = -10\) e \(c = 16\).<br /><br />\[<br />x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 64}}{2}<br />\]<br /><br />\[<br />x = \frac{10 \pm \sqrt{36}}{2}<br />\]<br /><br />\[<br />x = \frac{10 \pm 6}{2}<br />\]<br /><br />Isso nos dá duas soluções:<br /><br />\[<br />x = \frac{10 + 6}{2} = 8<br />\]<br /><br />\[<br />x = \frac{10 - 6}{2} = 2<br />\]<br /><br />5. **Verificamos as solu contexto da equação original:**<br /><br />Para \(x = 8\):<br /><br />\[<br />\sqrt{\frac{8}{4-8}} = \sqrt{\frac{4-8}{2}}<br />\]<br /><br />\[<br />\sqrt{\frac{8}{-4}} = \sqrt{\frac{-4}{2}}<br />\]<br /><br />\[<br />\sqrt{-2} = \sqrt{-2}<br />\]<br /><br />Para \(x = 2\):<br /><br />\[<br />\sqrt{\frac{2}{4-2}} = \sqrt{\frac{4-2}{2}}<br />\]<br /><br />\[<br />\sqrt{\frac{2}{2}} = \sqrt{\frac{2}{2}}<br />\]<br /><br />\[<br />\sqrt{1} = \sqrt{1}<br />\]<br /><br />Ambas as soluções são válidas no contexto da equação original. Portanto, a solução da equação é:<br /><br />\[<br />x = 2 \quad \text{ou} \quad x = 8<br />\]