Questōes 1-2 Avaliação Simulada Considere a integral definida int _(pi /2)^pi (2x^wedge 2)ast cos(2x)dx 1) Pede-se solucionar pelos seguintes métodos: i.(2.5 Ptos) Trapézios Repetidos com n=10 ii.(2.0 Ptos) 1/3 de Simpson Repetido, com m=4,m=2n; ii. (2.0 Ptos) 3/8 de Simpson 2) Responda: i. (20 Ptos) Realize uma estimativa de erro para o caso 1.ii; ii.(1.5 Pto) Empregando o Método dos Trapézios Repetidos quantas subdivisôes n devemos empregar no para atingirmos um erro igual ou inferior a 10^-8 Importante Use pelo menos 7 casas decimais com arredondamento.

Para resolver a integral definida $\int _{\pi /2}^{\pi }(2x^2)\ast cos(2x)dx$ usando o método dos trapézios repetidos, podemos dividir o intervalo de integração em $n$ subintervalos iguais e aproximar a integral usando trapézios.<br /><br />i. Para $n=10$, temos 10 subintervalos iguais. Podemos calcular a base e a altura de cada trapézio e, em seguida, somar as áreas dos trapézios para obter uma estimativa da integral.<br /><br />A base do primeiro trapézio é $\pi/2$ e a altura é $2(\pi/2)^2\ast cos(2\pi/2)$. A base do último trapézio é $\pi$ e a altura é $2(\pi)^2\ast cos(2\pi)$. Para os trapézios intermediários, podemos calcular a base e a altura usando a fórmula $x_i = \pi/2 + i\Delta x$, onde $\Delta x = (\pi - \pi/2)/n = \pi/2n$.<br /><br />ii. Para o método de Simpson repetido com $m=4$ e $m=2n$, podemos dividir o intervalo de integração em $2n$ subintervalos iguais e usar a regra de Simpson para aproximar a integral. A fórmula para a regra de Simpson repetido é:<br /><br />$\int_{a}^{b} f(x)dx \approx \frac{\Delta x}{3} \left[ f(a) + 8\sum_{i=1,3,\ldots,2n-1}^{2n-1} f(x_i) + 2\sum_{i=2,4,\ldots,2n-2}^{2n} f(x_i) + f(b) \right]$<br /><br />onde $\Delta x = \frac{b-a}{2n}$ e $x_i = a + i\Delta x$.<br /><br />iii. Para o método de Simpson repetido com $3/8$ de Simpson, podemos usar a mesma fórmula da regra de Simpson repetido, mas com um coeficiente diferente para cada termo.<br /><br />2) Estimativa de erro:<br />i. Para realizar uma estimativa de erro para o caso 1.ii, podemos usar a fórmula do erro de Simpson repetido. O erro é proporcional ao quarto poder da quantidade de subintervalos. Portanto, podemos calcular o erro usando a fórmula:<br /><br />$E \leq \frac{(b-a)^5}{180n^4}$<br /><br />onde $b-a$ é o intervalo de integração e $n$ é o número de subintervalos.<br /><br />ii. Para determinar quantas subdivisões $n$ devemos empregar para atingirmos um erro igual ou inferior a $10^{-8}$, podemos usar a mesma fórmula do erro de Simpson repetido. Podemos resolver a inequação:<br /><br />$\frac{(b-a)^5}{180n^4} \leq 10^{-8}$<br /><br />para $n$.