um fiscal do imposto de renda pretende estimar a proporção de declarações com devolução de um grupo de 500 declarações de uma categoria Para selecionou ao acaso 50 declarações e verificou que 20 delas solicitavam devolução Determine o tamanho da amostra necessário para estimar a proporção de declarações com devolução neste grupo com 90% de confiança e erro máximo de 5%

Para determinar o tamanho da amostra necessário para estimar a proporção de declarações com devolução com 90% de confiança e erro máximo de 5%, podemos usar a fórmula da proporção de confiança para amostras finitas:<br /><br />\[ n = \frac{{Z^2 \cdot p \cdot (1 - p)}}{{E^2}} \]<br /><br />Onde:<br />- \( n \) é o tamanho da amostra necessário<br />- \( Z \) é o valor crítico da distribuição normal padrão para o nível de confiança desejado (para 90% de confiança, \( Z \approx 1,645 \))<br />- \( p \) é a proporção estimada a partir da amostra inicial (20/50 = 0,4)<br />- \( E \) é o erro máximo permitido (5% ou 0,05)<br /><br />Substituindo os valores na fórmula, temos:<br /><br />\[ n = \frac{{1,645^2 \cdot 0,4 \cdot (1 - 0,4)}}{{0,05^2}} \]<br /><br />Calculando a expressão dentro dos parênteses primeiro:<br /><br />\[ 0,4 \cdot (1 - 0,4) = 0,4 \cdot 0,6 = 0,24 \]<br /><br />Agora, substituindo na fórmula:<br /><br />\[ n = \frac{{1,645^2 \cdot 0,24}}{{0,05^2}} \]<br /><br />Calculando o valor de \( 1,645^2 \):<br /><br />\[ 1,645^2 \approx 2,706 \]<br /><br />Agora, substituindo na fórmula:<br /><br />\[ n = \frac{{2,706 \cdot 0,24}}{{0,05^2}} \]<br /><br />Calculando o valor de \( 0,05^2 \):<br /><br />\[ 0,05^2 = 0,0025 \]<br /><br />Agora, substituindo na fórmula:<br /><br />\[ n = \frac{{2,706 \cdot 0,24}}{{0,0025}} \]<br /><br />Calculando o valor de \( 2,706 \cdot 0,24 \):<br /><br />\[ 2,706 \cdot 0,24 \approx 0,651744 \]<br /><br />Agora, substituindo na fórmula:<br /><br />\[ n = \frac{{0,651744}}{{0,0025}} \]<br /><br />Calculando o valor final:<br /><br />\[ n \approx 260,6976 \]<br /><br />Portanto, o tamanho da amostra necessário para estimar a proporção de declarações com devolução neste grupo com 90% de confiança e erro máximo de 5% é aproximadamente 261.