Resolva as seguintes EDOs de primeira ordem. 1. y'=(x^2)/(y) 2 y'=(x^2)/(y(1+x^3)) 3. y'+y^2senx=0 4 y'=(3x^2-1)/(3+2y) 5 y'=cos(x)^2cos(2y)^2 6 xy'=sqrt (1-y^2) 7 y'=(x-e^-x)/(y+e^y) 8 y'=(x^2)/(1+y^2)

Vamos resolver cada uma das EDOs de primeira ordem:<br /><br />1. $y'=\frac {x^{2}}{y}$<br /><br />Esta é uma EDO separável. Podemos reescrevê-la como $y dy = x^2 dx$. Integrando ambos os lados, obtemos $\frac{y^2}{2} = \frac{x^3}{3} + C$, onde C é a constante de integração.<br /><br />2. $y'=\frac {x^{2}}{y(1+x^{3})}$<br /><br />Esta é uma EDO separável. Podemos reescrevê-la como $y dy = \frac{x^2}{1+x^3} dx$. Integrando ambos os lados, obtemos $\ln|y| = \ln|x(1+x^3)| + C$, onde C é a constante de integração.<br /><br />3. $y'+y^{2}senx=0$<br /><br />Esta é uma EDO linear. Podemos reescrevê-la como $y' + y^2 \sin(x) = 0$. Esta é uma EDO homogênea de primeiro grau. Podemos usar o fator integrante $\mu(x) = e^{\int \sin(x) dx} = e^{\cos(x)}$. Multiplicando ambos os lados por $\mu(x)$, obtemos $e^{\cos(x)} y' + e^{\cos(x)} y^2 \sin(x) = 0$. Esta é uma EDO linear de primeira ordem na forma $\mu y' + \mu y^2 \sin(x) = 0$. A solução geral é $\frac{e^{-\cos(x)}}{e^{-\cos(x)}} = C$, onde C é a constante de integração.<br /><br />4. $y'=\frac {3x^{2}-1}{3+2y}$<br /><br />Esta é uma EDO separável. Podemos reescrevê-la como $(3+2y) dy = (3x^2-1) dx$. Integrando ambos os lados, obtemos $\frac{3y}{2} + \frac{y^2}{2} = \frac{3x^3}{3} - x + C$, onde C é a constante de integração.<br /><br />5. $y'=cos(x)^{2}cos(2y)^{2}$<br /><br />Esta é uma EDO separável. Podemos reescrevê-la como $\frac{1}{\cos(2y)^2} dy = \cos(x)^2 dx$. Integrando ambos os lados, obtemos $\tan(2y) = \sin(x) + C$, onde C é a constante de integração.<br /><br />6. $xy'=\sqrt {1-y^{2}}$<br /><br />Esta é uma EDO separável. Podemos reescrevê-la como $y' = \frac{\sqrt{1-y^2}}{x}$. Integrando ambos os lados, obtemos $\ln|x| = \sqrt{1-y^2} + C$, onde C é a constante de integração.<br /><br />7. $y'=\frac {x-e^{-x}}{y+e^{y}}$<br /><br />Esta é uma EDO separável. Podemos reescrevê-la como $(y+e^y) dy = (x-e^{-x}) dx$. Integrando ambos os lados, obtemos $\ln|y+e^y| = \ln|x-e^{-x}| + C$, onde C é a constante de integração.<br /><br />8. $y'=\frac {x^{2}}{1+y^{2}}$<br /><br />Esta é uma EDO separável. Podemos reescrevê-la como $(1+y^2) dy = x^2 dx$. Integrando ambos os lados, obtemos $\ln|1+y^2| = \frac{x^3}{3} + C$, onde C é a constante de integração.