1. Nos exercicios a seguir complete a tabela. Integral original Reescrea Intege Simplifique a. int sqrt [3](x)dx become b. int (1)/(x^2)dx int (1)/(xsqrt (x))dx d. int x(x^2+3)dx

Para resolver os exercícios e completar a tabela, precisamos reescrever as integrais em uma forma que facilite a integração, calcular as integrais e simplificar os resultados quando possível. Vamos fazer isso para cada item:<br /><br />a. \(\int \sqrt[3]{x} \, dx\)<br /><br />1. **Reescreva**: A raiz cúbica pode ser escrita como uma potência fracionária: \(\int x^{1/3} \, dx\).<br />2. **Integre**: Use a regra da potência para integrar: \(\frac{x^{(1/3) + 1}}{(1/3) + 1} + C = \frac{x^{4/3}}{4/3} + C = \frac{3}{4}x^{4/3} + C\).<br /><br />b. \(\int \frac{1}{x^2} \, dx\)<br /><br />1. **Reescreva**: Escreva a fração como uma potência negativa: \(\int x^{-2} \, dx\).<br />2. **Integre**: Use a regra da potência: \(\frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C = \frac{x^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{x} + C\).<br /><br />c. \(\int \frac{1}{x\sqrt{x}} \, dx\)<br /><br />1. **Reescreva**: Simplifique a expressão: \(\int x^{-1} \cdot x^{-1/2} \, dx = \int x^{-3/2} \, dx\).<br />2. **Integre**: Use a regra da potência: \(\frac{x^{-3/2+1}}{-3/2+1} + C = \frac{x^{-1/2}}{-1/2} + C = -2x^{-1/2} + C = -\frac{2}{\sqrt{x}} + C\).<br /><br />d. \(\int x(x^2 + 3) \, dx\)<br /><br />1. **Reescreva**: Distribua o \(x\): \(\int (x^3 + 3x) \, dx\).<br />2. **Integre**: Integre termo a termo: \(\frac{x^{3+1}}{3+1} + \frac{3x^{1+1}}{1+1} + C = \frac{x^4}{4} + \frac{3x^2}{2} + C\).<br /><br />Essas são as integrais calculadas e simplificadas para cada item.