lim _(xarrow p)(x^4-p^4)/(x-p)

Para encontrar o limite da função $\lim_{x \to p} \frac{x^4 - p^4}{x - p}$, podemos simplificar a expressão antes de avaliar o limite.

Primeiro, vamos fatorar o numerador $x^4 - p^4$. Usando a diferença de quadrados, temos:

$$x^4 - p^4 = (x^2 + p^2)(x^2 - p^2)$$

E podemos fatorar ainda mais:

$$x^2 - p^2 = (x + p)(x - p)$$

Portanto, a expressão fica:

$$x^4 - p^4 = (x^2 + p^2)(x + p)(x - p)$$

Agora, substituímos isso na função original:

$$\frac{x^4 - p^4}{x - p} = \frac{(x^2 + p^2)(x + p)(x - p)}{x - p}$$

Podemos cancelar o termo $(x - p)$ no numerador e no denominador:

$$\frac{(x^2 + p^2)(x + p)(x - p)}{x - p} = (x^2 + p^2)(x + p)$$

Agora, podemos avaliar o limite diretamente:

$$\lim_{x \to p} (x^2 + p^2)(x + p)$$

Quando $x \to p$, a expressão se torna:

$$(p^2 + p^2)(p + p) = 2p^2 \cdot 2p = 4p^3$$

Portanto, o limite é:

$$\lim_{x \to p} \frac{x^4 - p^4}{x - p} = 4p^3$$