E SSAS PC OPUL ACOES N_(1)=300e^t/3 N_(2)=100e^t/2 OBS: A deri rada de exponencial pode ser generalizada da seguinte maneira: sendo y=e^u com u uma função de x, temos que (dy)/(dx)=e^u(dy)/(dx) Para entender a situação e realizar previsões sobre comportamento dessa cultura de bactérias . você precisa saber: Qual é a população inicial de cada cultura de ctéria? b)Qual é a taxa de crescimento dessas populações? C)Qual é a população emt=10 dias para cada cultura? d)Com base na resposta anterior., as populações seriam iguais em algum momento?" Se sim., para qual t?Qual é a taxa de crescimento das populações em t=10 dias?O que você poderia dizer sobre o crescimento dessas populações? e)Faça um gráfico da população pelo tempo de até 10 dias.

a) A população inicial de cada cultura de bactérias pode ser encontrada substituindo $t = 0$ nas equações dadas:

Para $N_1$:
$$N_1(0) = 300e^{0/3} = 300e^0 = 300$$

Para $N_2$:
$$N_2(0) = 100e^{0/2} = 100e^0 = 100$$

Portanto, a população inicial de $N_1$ é 300 e a de $N_2$ é 100.

b) A taxa de crescimento de cada população é dada pela derivada das equações em relação ao tempo $t$:

Para $N_1$:
$$\frac{dN_1}{dt} = \frac{d}{dt}(300e^{t/3}) = 300 \cdot \frac{1}{3}e^{t/3} = 100e^{t/3}$$

Para $N_2$:
$$\frac{dN_2}{dt} = \frac{d}{dt}(100e^{t/2}) = 100 \cdot \frac{1}{2}e^{t/2} = 50e^{t/2}$$

c) Para encontrar a população em $t = 10$ dias, substituímos $t = 10$ nas equações originais:

Para $N_1$:
$$N_1(10) = 300e^{10/3}$$

Para $N_2$:
$$N_2(10) = 100e^{10/2} = 100e^5$$

d) Para determinar se as populações seriam iguais em algum momento, igualamos as equações e resolvemos para $t$:

$$300e^{t/3} = 100e^{t/2}$$

Dividindo ambos os lados por 100:
$$3e^{t/3} = e^{t/2}$$

Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
$$\ln(3) + \frac{t}{3} = \frac{t}{2}$$

Multiplicando toda a equação por 6 para eliminar os denominadores:
$$6\ln(3) + 2t = 3t$$

Isolando $t$:
$$6\ln(3) = t$$

Portanto, as populações seriam iguais em $t = 6\ln(3)$ dias.

A taxa de crescimento das populações em $t = 10$ dias é:
Para $N_1$:
$$\frac{dN_1}{dt} \bigg|_{t=10} = 100e^{10/3}$$

Para $N_2$:
$$\frac{dN_2}{dt} \bigg|_{t=10} = 50e^5$$

e) Para fazer um gráfico da população pelo tempo até 10 dias, você pode plotar as equações $N_1(t)$ e $N_2(t)$ em um gráfico de linha com $t$ no eixo x e $N$ no eixo y.