5. (OBMEP - Adaptado) Se a=2^3cdot 5^2cdot 7^2 identifique qual dos seguintes números são múltiplos de a: a) 2^2cdot 5^2cdot 7 b) 2.5.7^4.13^2 C) 2^5cdot 5^2cdot 7 d) 2^2cdot 3^3cdot 5^2 e) 2^3cdot 3.5^4cdot 7^2cdot 11

Para determinar quais números são múltiplos de $a$, precisamos verificar se cada número é divisível por $a$. O número $a$ é dado por $a = 2^3 \cdot 5^2 \cdot 7^2$.

Vamos analisar cada opção:

a) $2^2 \cdot 5^2 \cdot 7$

Para que um número seja múltiplo de $a$, ele deve ter pelo menos as potências de 2, 5 e 7 que aparecem em $a$.

$2^2 \cdot 5^2 \cdot 7$ tem:
- $2^2$ (menos que $2^3$)
- $5^2$ (igual a $5^2$)
- $7$ (menos que $7^2$)

Portanto, $2^2 \cdot 5^2 \cdot 7$ não é múltiplo de $a$.

b) $2 \cdot 5 \cdot 7^4 \cdot 13^2$

$2 \cdot 5 \cdot 7^4 \cdot 13^2$ tem:
- $2$ (menos que $2^3$)
- $5$ (menos que $5^2$)
- $7^4$ (maior que $7^2$)
- $13^2$ (não aparece em $a$)

Portanto, $2 \cdot 5 \cdot 7^4 \cdot 13^2$ não é múltiplo de $a$.

c) $2^5 \cdot 5^2 \cdot 7$

$2^5 \cdot 5^2 \cdot 7$ tem:
- $2^5$ (maior que $2^3$)
- $5^2$ (igual a $5^2$)
- $7$ (menos que $7^2$)

Portanto, $2^5 \cdot 5^2 \cdot 7$ não é múltiplo de $a$.

d) $2^2 \cdot 3^3 \cdot 5^2$

$2^2 \cdot 3^3 \cdot 5^2$ tem:
- $2^2$ (menos que $2^3$)
- $3^3$ (não aparece em $a$)
- $5^2$ (igual a $5^2$)

Portanto, $2^2 \cdot 3^3 \cdot 5^2$ não é múltiplo de $a$.

e) $2^3 \cdot 3 \cdot 5^4 \cdot 7^2 \cdot 11$

$2^3 \cdot 3 \cdot 5^4 \cdot 7^2 \cdot 11$ tem:
- $2^3$ (igual a $2^3$)
- $5^4$ (maior que $5^2$)
- $7^2$ (igual a $7^2$)
- $3$ (não aparece em $a$)
- $11$ (não aparece em $a$)

Portanto, $2^3 \cdot 3 \cdot 5^4 \cdot 7^2 \cdot 11$ não é múltiplo de $a$.

Portanto, nenhuma das opções fornecidas é múltiplo de $a$.