3) (2,0) Dados os vetores up u_(1)=[} 1 -2 1 ] , obtenha uma base ortogonal utilizando o processo de Gram-Schmidt.

Para obter uma base ortogonal a partir dos vetores \( u_1, u_2, u_3 \) utilizando o processo de Gram-Schmidt, seguimos os seguintes passos:<br /><br />1. **Escolher o primeiro vetor da base ortogonal**: <br /> \[<br /> v_1 = u_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}<br /> \]<br /><br />2. **Ortogonalizar o segundo vetor**:<br /> \[<br /> v_2 = u_2 - \frac{\langle u_2, v_1 \rangle}{\langle v_1, v_1 \rangle} v_1<br /> \]<br /> Primeiro, calculamos os produtos internos:<br /> \[<br /> \langle u_2, v_1 \rangle = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix} = 0 \cdot 1 + 1 \cdot (-2) + 2 \cdot 1 = 0 - 2 + 2 = 0<br /> \]<br /> \[<br /> \langle v_1, v_1 \rangle = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix} = 1^2 + (-2)^2 + 1^2 = 1 + 4 + 1 = 6<br /> \]<br /> Como \(\langle u_2, v_1 \rangle = 0\), temos:<br /> \[<br /> v_2 = u_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}<br /> \]<br /><br />3. **Ortogonalizar o terceiro vetor**:<br /> \[<br /> v_3 = u_3 - \frac{\langle u_3, v_1 \rangle}{\langle v_1, v_1 \rangle} v_1 - \frac{\langle u_3, v_2 \rangle}{\langle v_2, v_2 \rangle} v_2<br /> \]<br /> Calculamos os produtos internos:<br /> \[<br /> \langle u_3, v_1 \rangle = \begin{bmatrix} -5 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix} = -5 \cdot 1 + (-2) \cdot (-2) + 1 \cdot 1 = -5 + 4 + 1 = 0<br /> \]<br /> \[<br /> \langle u_3, v_2 \rangle = \begin{bmatrix} -5 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} = -5 \cdot 0 + (-2) \cdot 1 + 1 \cdot 2 = 0 - 2 + 2 = 0<br /> \]<br /> \[<br /> \langle v_2, v_2 \rangle = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} = 0^2 + 1^2 + 2^2 = 0 + 1 + 4 = 5<br /> \]<br /> Como ambos os produtos internos são zero, temos:<br /> \[<br /> v_3 = u_3 = \begin{bmatrix} -5 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}<br /> \]<br /><br />Portanto, a base ortogonal é composta pelos vetores:<br />\[<br />v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad v_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}, \quad v_3 = \begin{bmatrix} -5 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}<br />\]