EXERCICE 01: (13pts) Partie (1) On considère la fonction g définie sur ]-1;+infty [par:g(x)=(-x)/(x+1)+2ln(x+1) 1) Calculer lim _(xarrow +infty )g(x) et montrer que lim _(xarrow -1^+)g(x) 2) Calculer g' puis dresser le tableau de variations de la fonction a 3) Montrer que l'équation g(x)=0 admet une unique solution alpha sur -1;-(1)/(2)[ 4) Calculer g(0) , puis donner le tableau de signe de g(x) Partie (M)

1) Pour calculer $\lim _{x\rightarrow +\infty }g(x)$, nous devons examiner le comportement de la fonction g(x) lorsque x tend vers l'infini. En simplifiant l'expression de g(x), nous obtenons :<br /><br />$g(x) = \frac{-x}{x+1} + 2\ln(x+1)$<br /><br />Lorsque x tend vers l'infini, le terme $\frac{-x}{x+1}$ tend vers -1 et le terme $2\ln(x+1)$ tend vers l'infini. Par conséquent, $\lim _{x\rightarrow +\infty }g(x) = -1$.<br /><br />Pour montrer que $\lim _{x\rightarrow -1^{+}}g(x)$ existe, nous devons examiner le comportement de la fonction g(x) lorsque x approche -1 par la droite. En simplifiant l'expression de g(x), nous obtenons :<br /><br />$g(x) = \frac{-x}{x+1} + 2\ln(x+1)$<br /><br />Lorsque x approche -1 par la droite, le terme $\frac{-x}{x+1}$ tend vers 1 et le terme $2\ln(x+1)$ tend vers l'infini. Par conséquent, $\lim _{x\rightarrow -1^{+}}g(x) = +\infty$.<br /><br />2) Pour calculer $g'$, nous devons dériver l'expression de g(x) par rapport à x. En utilisant la règle du quotient et la règle de la chaîne, nous obtenons :<br /><br />$g'(x) = \frac{-1}{(x+1)^2} + \frac{2}{x+1}$<br /><br />Pour dresser le tableau de variations de la fonction g(x), nous devons trouver les valeurs de x pour lesquelles $g'(x) = 0$. En résolvant l'équation $g'(x) = 0$, nous obtenons $x = -\frac{1}{2}$. Par conséquent, le tableau de variations de g(x) est :<br /><br />x | -1 | -\frac{1}{2} | +\infty<br />---|---|---|---<br />g'(x) | - | 0 | +<br />g(x) | +\infty | 0 | -1<br /><br />3) Pour montrer que l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $]-1;-\frac{1}{2}[$, nous devons trouver les valeurs de x pour lesquelles $g(x) = 0$. En résolvant l'équation $g(x) = 0$, nous obtenons $x = -\frac{1}{2}$. Par conséquent, l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha = -\frac{1}{2}$ sur $]-1;-\frac{1}{2}[$.<br /><br />4) Pour calculer $g(0)$, nous remplaçons x par 0 dans l'expression de g(x) :<br /><br />$g(0) = \frac{-0}{0+1} + 2\ln(0+1) = 0 + 2\ln(1) = 0$<br /><br />Pour donner le tableau de signe de $g(x)$, nous devons trouver les valeurs de x pour lesquelles $g(x) > 0$ et $g(x) < 0$. En utilisant le tableau de variations de g(x), nous obtenons :<br /><br />x | -1 | -\frac{1}{2} | 0 | +\infty<br />---|---|---|---|---<br />g(x) | +\infty | 0 | 0 | -1<br /><br />Par conséquent, $g(x) > 0$ pour $x \in ]-1; -\frac{1}{2}[$ et $g(x) < 0$ pour $x \in ]-\frac{1}{2}; +\infty[$.