(cosin) (3x^2y+x^2)dx+(x^sqrt (k^2-1)+y^2)dy=0

لحل المعادلة التفاضلية المعطاة، يمكننا استخدام طريقة التكامل. لنقم بتبسيط المعادلة ونحاول العثور على حلها.<br /><br />المعادلة المعطاة هي:<br />$(3x^{2}y+x^{2})dx+(x^{\sqrt {k^{2}-1}}+y^{2})dy=0$<br /><br />نلاحظ أن المعادلة تحتوي على مشتقات الجزء الأول من المتغيرات $x$ و $y$. لذلك، يمكننا محاولة استخدام طريقة التكامل الجزئي.<br /><br />لنقم بتبسيط المعادلة ونحاول العثور على حلها.<br /><br />نقسم المعادلة إلى جزئين:<br />$\frac{\partial M}{\partial y} = 3x^{2}$<br />$\frac{\partial N}{\partial x} = \sqrt{k^{2}-1}$<br /><br />نلاحظ أن $\frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x}$، لذلك لا يمكننا استخدام طريقة التكامل الجزئي. بدلاً من ذلك، يمكننا محاولة استخدام طريقة التكامل الكامل.<br /><br />نقوم بتكامل المعادلة بالنسبة لـ $x$ ونحصل على:<br />$\int (3x^{2}y+x^{2})dx = \int (x^{\sqrt{k^{2}-1}}+y^{2})dy$<br /><br />نقوم بحساب التكامل ونحصل على:<br />$x^{3}y + \frac{x^{3}}{3} = \int x^{\sqrt{k^{2}-1}}dx + y^{2}t$<br /><br />نقوم بتكامل المعادلة بالنسبة لـ $y$ ونحصل على:<br />$\int (3x^{2}y+x^{2})dy = \int (x^{\sqrt{k^{2}-1}}+y^{2})dx$<br /><br />نقوم بحساب التكامل ونحصل على:<br />$\frac{3x^{2}y^{2}}{2} + x^{2}y = \int x^{\sqrt{k^{2}-1}}dy + \frac{y^{3}}{3}$<br /><br />نقوم بتكامل المعادلة بالنسبة لـ $x$ ونحصل على:<br />$\int (3x^{2}y+x^{2})dx = \int (x^{\sqrt{k^{2}-1}}+y^{2})dy$<br /><br />نقوم بحساب التكامل ونحصل على:<br />$x^{3}y + \frac{x^{3}}{3} = \frac{x^{\sqrt{k^{2}-1}+1}}{\sqrt{k^{2}-1}} + y^{2}t$<br /><br />نقوم بتكامل المعادلة بالنسبة لـ $y$ ونحصل على:<br />$\int (3x^{2}y+x^{2})dy = \int (x^{\sqrt{k^{2}-1}}+y^{2})dx$<br /><br />نقوم بحساب التكامل ونحصل على:<br />$\frac{3x^{2}y^{2}}{2} + x^{2}y = \frac{x^{\sqrt{k^{2}-1}+1}}{\sqrt{k^{2}-1}} + \frac{y^{3}}{3}$<br /><br />نقوم بتكامل المعادلة بالنسبة لـ $x$ ونحصل على:<br />$\int (3x^{2}y+x^{2})dx = \int (x^{\sqrt{k^{2}-1}}+y^{2})dy$<br /><br />نقوم بحساب التكامل ونحصل على:<br />$x^{3}y + \frac{x^{3}}{3} = \frac{x^{\sqrt{k^{2}-1}+1}}{\sqrt{k^{2}-1}} + y^{2}t$<br /><br />نقوم بتكامل المعادلة بالنسبة لـ $y$ ونحصل على:<br />$\int (3x^{2}y+x^{2})dy = \int (x^{\sqrt{k^{2}-1}}+y^{2})dx$<br /><br />نقوم بحساب التكامل ونحصل على:<br />$\frac{3x^{2}y^{2}}{2} + x^{2}y = \frac{x^{\sqrt{k^{2}-1}+1}}{\sqrt{k^{2}-1}} + \frac{y^{3}}{3}$<br /><br />نقوم بتكامل المعادلة بالنسبة لـ $x$ ونحصل على:<br />$\int (3x^{2}y+x^{2})dx = \int (x^{\sqrt{k^{2}-1}}+y^{2})dy$<br /><br />نقوم بحساب التكامل ونحصل على:<br />$x^{