20^circ sefam os setores vec(v) e vec(v) em R^3 , porar a identidade de logromge 1 vec(u)^circ times vec(v)^2=1 vec(v)^2-(vec(u) cdot vec(v))^2

Para resolver esse problema, vamos utilizar a identidade de Lagrange para calcular o produto vetorial \( \vec{u} \times \vec{v} \) em \( \mathbb{R}^3 \).<br /><br />Dado que \( \vec{u} \) e \( \vec{v} \) são vetores em \( \mathbb{R}^3 \), podemos calcular o produto vetorial \( \vec{u} \times \vec{v} \) utilizando a seguinte fórmula:<br /><br />\( \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix} \)<br /><br />onde \( \mathbf{i} \), \( \mathbf{j} \) e \( \mathbf{k} \) são os vetores unitários em \( \mathbb{R}^3 \) e \( u_1 \), \( u_2 \), \( u_3 \), \( v_1 \), \( v_2 \) e \( v_3 \) são os componentes dos vetores \( \vec{u} \) e \( \vec{v} \) respectivamente.<br /><br />Aplicando a identidade de Lagrange, temos:<br /><br />\( |\vec{u} \times \vec{v}|^2 = |\vec{v}|^2 - (\vec{u} \cdot \vec{v})^2 \)<br /><br />Onde \( |\vec{u} \times \vec{v}| \) é o módulo do vetor resultante do produto vetorial \( \vec{u} \times \vec{v} \), \( |\vec{v}| \) é o módulo do vetor \( \vec{v} \) e \( \vec{u} \cdot \vec{v} \) é o produto escalar entre \( \vec{u} \) e \( \vec{v} \).<br /><br />Portanto, a identidade de Lagrange nos permite calcular o módulo do vetor resultante do produto vetorial \( \vec{u} \times \vec{v} \) em termos do módulo do vetor \( \vec{v} \) e do produto escalar entre \( \vec{u} \) e \( \vec{v} \).