(02) 0 valor de operatorname(tg) (15 pi)/(4) e^prime .

Para calcular o valor de \( \operatorname{tg} \frac{15 \pi}{4} \), primeiro precisamos simplificar a fração. Podemos fazer isso dividindo o numerador e o denominador por 4:<br /><br />\( \frac{15 \pi}{4} = \frac{15}{4} \pi \)<br /><br />Agora, podemos calcular o valor de \( \operatorname{tg} \frac{15}{4} \pi \). Sabemos que o valor de \( \operatorname{tg} \) é periodicidade de \( \pi \), ou seja, \( \operatorname{tg}(\theta) = \operatorname{tg}(\theta + k\pi) \), onde \( k \) é um número inteiro.<br /><br />Podemos simplificar \( \frac{15}{4} \pi \) para um valor dentro do intervalo \( [0, \pi] \) subtraindo múltiplos de \( \pi \):<br /><br />\( \frac{15}{4} \pi = 3\pi + \frac{3}{4} \pi \)<br /><br />Como \( \operatorname{tg}(\theta) \) tem período \( \pi \), podemos reduzir \( 3\pi \) para \( 0 \):<br /><br />\( \operatorname{tg} \frac{15 \pi}{4} = \operatorname{tg} \left( 3\pi + \frac{3}{4} \pi \right) = \operatorname{tg} \frac{3}{4} \pi \)<br /><br />Agora, podemos calcular o valor de \( \operatorname{tg} \frac{3}{4} \pi \). Sabemos que \( \operatorname{tg} \frac{\pi}{4} = 1 \) e \( \operatorname{tg} \frac{\pi}{2} \) é indefinido. No entanto, podemos usar a identidade \( \operatorname{tg} \frac{\pi}{2} - \operatorname{tg} \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} \) para encontrar o valor de \( \operatorname{tg} \frac{3}{4} \pi \):<br /><br />\( \operatorname{tg} \frac{3}{4} \pi = \operatorname{tg} \left( \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} \right) = \operatorname{tg} \frac{3\pi}{4} \)<br /><br />Sabemos que \( \operatorname{tg} \frac{3\pi}{4} = -\operatorname{tg} \frac{\pi}{4} = -1 \).<br /><br />Portanto, o valor de \( \operatorname{tg} \frac{15 \pi}{4} \) é -1.