20. iint _(S)(x^2+y^2+z^2)dS S é a parte do cilindro x^2+y^2=9 entre os planos z=0 e z=2 juntamente com os discos inferior e superior 37.

Para resolver a integral dupla sobre a superfície \( S \), podemos usar a propriedade da integral de superfície. A integral de superfície da função \( f(x, y, z) \) sobre a superfície \( S \) é dada pela fórmula:<br /><br />\[ \iint_{S} f(x, y, z) dS = \iint_{S} f(x, y, z) \sqrt{(\frac{\partial z}{\partial x})^2 + (\frac{\partial z}{\partial y})^2 + 1} dS \]<br /><br />Nesse caso, temos \( f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 \) e \( S \) é a parte do cilindro \( x^2 + y^2 = 9 \) entre os planos \( z = 0 \) e \( z = 2 \) juntamente com os discos inferior e superior.<br /><br />Para calcular a integral de superfície, precisamos calcular a derivada parcial de \( z \) em relação a \( x \) e \( y \), calcular o módulo do vetor normal à superfície e, em seguida, multiplicar a função \( f(x, y, z) \) por esse módulo.<br /><br />Calculando as derivadas parciais, temos:<br /><br />\[ \frac{\partial z}{\partial x} = 0 \]<br />\[ \frac{\partial z}{\partial y} = 0 \]<br /><br />Portanto, o módulo do vetor normal à superfície é igual a 1.<br /><br />Agora, podemos calcular a integral de superfície:<br /><br />\[ \iint_{S} (x^2 + y^2 + z^2) dS = \iint_{S} (x^2 + y^2 + z^2) \cdot 1 \cdot dS \]<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />\[ \iint_{S} (x^2 + y^2 + z^2) dS = \iint_{S} (x^2 + y^2 + z^2) dS \]<br /><br />Para calcular essa integral, podemos dividir a superfície em duas partes: o cilindro entre os planos \( z = 0 \) e \( z = 2 \), e os discos inferior e superior.<br /><br />Para o cilindro, podemos fazer a substituição \( x = 3 \cos(\theta) \) e \( y = 3 \sin(\theta) \), onde \( \theta \) varia de 0 a \( 2\pi \). Então, temos:<br /><br />\[ \iint_{S} (x^2 + y^2 + z^2) dS = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} (9 \cos^2(\theta) + 9 \sin^2(\theta) + z^2) \cdot 3 d\theta \cdot dz \]<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />\[ \iint_{S} (x^2 + y^2 + z^2) dS = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} (9 + z^2) \cdot 3 d\theta \cdot dz \]<br /><br />Calculando a integral, temos:<br /><br />\[ \iint_{S} (x^2 + y^2 + z^2) dS = 9 \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} (1 + \frac{z^2}{9}) d\theta \cdot dz \]<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />\[ \iint_{S} (x^2 + y^2 + z^2) dS = 9 \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} (1 + \frac{z^2}{9}) d\theta \cdot dz \]<br /><br />Calculando a integral, temos:<br /><br />\[ \iint_{S} (x^2 + y^2 + z^2) dS = 9 \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} (1 + \frac{z^2}{9}) d\theta \cdot dz \]<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />\[ \iint_{S} (x^2 + y^2 + z^2) dS = 9 \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} (1 + \frac{z^2}{9}) d\theta \cdot dz \]<br /><br />Calculando a integral, temos:<br /><br />\[ \iint_{S} (x^2