(21) Determinar x tal que a) |2 x & 3 x+2 1 & x|=0 b) |2 x & x-2 4 x+5 & 3 x-1|=11

a) Para determinar o valor de \( x \) que satisfaça a equação \( \left|\begin{array}{cc}2x & 3x+2 \\ 1 & x\end{array}\right|=0 \), podemos calcular o determinante da matriz e igualá-lo a zero.<br /><br />O determinante de uma matriz 2x2 é dado por \( ad-bc \), onde \( a \), \( b \), \( c \) e \( d \) são os elementos da matriz. Portanto, podemos calcular o determinante da matriz dada:<br /><br />\( \left|\begin{array}{cc}2x & 3x+2 \\ 1 & x\end{array}\right| = (2x \cdot x) - (3x+2 \cdot 1) = 2x^2 - 3x - 2 \)<br /><br />Agora, podemos igualar o determinante a zero e resolver a equação:<br /><br />\( 2x^2 - 3x - 2 = 0 \)<br /><br />Para resolver essa equação quadrática, podemos usar a fórmula de Bhaskara:<br /><br />\( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)<br /><br />Substituindo os valores de \( a \), \( b \) e \( c \) na fórmula, temos:<br /><br />\( x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2)}}{2 \cdot 2} \)<br /><br />Simplificando a expressão, encontramos:<br /><br />\( x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4} \)<br /><br />\( x = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{4} \)<br /><br />\( x = \frac{3 \pm 5}{4} \)<br /><br />Portanto, as soluções para a equação são \( x = 2 \) e \( x = -\frac{1}{2} \).<br /><br />b) Para determinar o valor de \( x \) que satisfaça a equação \( \left|\begin{array}{cc}2x & x-2 \\ 4x+5 & 3x-1\end{array}\right|=11 \), podemos calcular o determinante da matriz e igualá-lo a 11.<br /><br />O determinante de uma matriz 2x2 é dado por \( ad-bc \), onde \( a \), \( b \), \( c \) e \( d \) são os elementos da matriz. Portanto, podemos calcular o determinante da matriz dada:<br /><br />\( \left|\begin{array}{cc}2x & x-2 \\ 4x+5 & 3x-1\end{array}\right| = (2x \cdot (3x-1)) - ((x-2) \cdot (4x+5)) = 6x^2 - 2x - 4x^2 - 5x + 10 = 2x^2 - 7x + 10 \)<br /><br />Agora, podemos igualar o determinante a 11 e resolver a equação:<br /><br />\( 2x^2 - 7x + 10 = 11 \)<br /><br />\( 2x^2 - 7x - 1 = 0 \)<br /><br />Para resolver essa equação quadrática, podemos usar a fórmula de Bhaskara:<br /><br />\( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)<br /><br />Substituindo os valores de \( a \), \( b \) e \( c \) na fórmula, temos:<br /><br />\( x = \frac{7 \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2} \)<br /><br />Simplificando a expressão, encontramos:<br /><br />\( x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 8}}{4} \)<br /><br />\( x = \frac{7 \pm \sqrt{57}}{4} \)<br /><br />Portanto, as soluções para a equação são \( x = \frac{7 + \sqrt{57}}{4} \) e \( x = \frac{7 - \sqrt{57}}{4} \).