3. 0 corpo concentra iodo na tireoide.Esta observação leva ao tratamento de cancer de tireoide pela injeção de iodo radioativo na corrente sanguínea Um isótopo usado tem meia -vida de aproximadamente 8 dias e decai exponencialmente no tempo. Admitindo o modelo exponencial para o decaimento radioativo como Q(t)=Q_(0)cdot e^kt,Q_(0),kin R (a) Se 50 mg deste isótopo são injetados, que quantidade permanecerá após 3 semanas? (b) Suponhamos que a quantidade desejada de iodo na corrente sanguínea seja mantida sempre maior ou igual a 20 mg.Quando nova injeção deverá ser aplicada , considerando que isto só poderá ocorrer após a quantidade original ter caído nara. 20 mo?

(a) Para calcular a quantidade de iodo radioativo que permanecerá após 3 semanas, podemos usar a fórmula exponencial para o decaimento radioativo: $Q(t) = Q_{0} \cdot e^{kt}$.<br /><br />Sabemos que a meia-vida do isótopo é de aproximadamente 8 dias, o que significa que metade da quantidade inicial de iodo se degrada em 8 dias. Portanto, podemos usar esse valor para calcular o coeficiente $k$.<br /><br />A meia-vida é o tempo necessário para que metade da quantidade inicial se degrade. Portanto, podemos escrever a seguinte equação:<br /><br />$\frac{Q_{0}}{2} = Q_{0} \cdot e^{k \cdot 8}$<br /><br />Dividindo ambos os lados por $Q_{0}$, temos:<br /><br />$\frac{1}{2} = e^{8k}$<br /><br />Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados, temos:<br /><br />$\ln(\frac{1}{2}) = 8k$<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />$k = \frac{\ln(\frac{1}{2})}{8}$<br /><br />Agora, podemos substituir esse valor de $k$ na fórmula exponencial para calcular a quantidade de iodo que permanecerá após 3 semanas:<br /><br />$Q(21) = 50 \cdot e^{\frac{\ln(\frac{1}{2})}{8} \cdot 21}$<br /><br />Calculando essa expressão, encontramos:<br /><br />$Q(21) \approx 50 \cdot e^{-\frac{21}{8} \ln(2)}$<br /><br />$Q(21) \approx 50 \cdot e^{-\frac{21}{8} \cdot 0.693}$<br /><br />$Q(21) \approx 50 \cdot e^{-1.837}$<br /><br />$Q(21) \approx 50 \cdot 0.160$<br /><br />$Q(21) \approx 8 \text{ mg}$<br /><br />Portanto, após 3 semanas, a quantidade de iodo radioativo que permanecerá é aproximadamente 8 mg.<br /><br />(b) Para determinar quando uma nova injeção de iodo deve ser aplicada, precisamos calcular o tempo necessário para que a quantidade original de iodo caia para 20 mg ou menos.<br /><br />Podemos usar a mesma fórmula exponencial para o decaimento radioativo:<br /><br />$20 = 50 \cdot e^{\frac{\ln(\frac{1}{2})}{8} \cdot t}$<br /><br />Dividindo ambos os lados por 50, temos:<br /><br />$\frac{20}{50} = e^{\frac{\ln(\frac{1}{2})}{8} \cdot t}$<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />$0.4 = e^{\frac{\ln(\frac{1}{2})}{8} \cdot t}$<br /><br />Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados, temos:<br /><br />$\ln(0.4) = \frac{\ln(\frac{1}{2})}{8} \cdot t$<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />$t = \frac{8 \cdot \ln(0.4)}{\ln(\frac{1}{2})}$<br /><br />Calculando essa expressão, encontramos:<br /><br />$t \approx \frac{8 \cdot (-0.916)}{-0.693}$<br /><br />$t \approx \frac{-7.328}{-0.693}$<br /><br />$t \approx 10.6 \text{ dias}$<br /><br />Portanto, uma nova injeção de iodo deve ser aplicada após aproximadamente 10.6 dias, ou seja, após a quantidade original ter caído para 20 mg ou menos.