2. Considere a equação linear mx+ny=p de incógnitas x e y em que m,nep são parâmetros reais Em cada item determine as condições a serem impostas a m , n e p para que essa equação a) seja nula; b) seja impossível (ou incompatível); c) admita a solução trivial; d) admita uma única solução; e) admita como solução o par ordenado (x,y)=(1,-2)

Vamos analisar cada item detalhadamente:<br /><br />a) **Para que a equação seja nula:**<br />Uma equação é nula quando a expressão \(mx + ny = p\) é igual a zero para todos os valores de \(x\) e \(y\). Isso só pode ocorrer se \(m = 0\) e \(n = 0\) e \(p = 0\). Portanto, as condições são:<br />\[ m = 0, \quad n = 0, \quad p = 0 \]<br /><br />b) **Para que a equação seja impossível (ou incompatível):**<br />Uma equação é impossível quando não existe nenhum par ordenado \((x, y)\) que satisfaça a equação. Isso ocorre quando \(m\) e \(n\) são diferentes e \(p\) não é divisível por \(m\) ou \(n\). Portanto, as condições são:<br />\[ m \neq 0 \quad \text{e} \quad n \neq 0 \quad \text{e} \quad \frac{p}{m} \notin \mathbb{Z} \quad \text{e} \quad \frac{p}{n} \notin \mathbb{Z} \]<br /><br />c) **Para que a equação admita a solução trivial:**<br />A solução trivial é \((x, y) = (0, 0)\). Para que essa seja a única solução, a equação deve ser linearmente dependente, o que ocorre quando \(m = 0\) ou \(n = 0\). Portanto, as condições são:<br />\[ m = 0 \quad \text{ou} \quad n = 0 \]<br /><br />d) **Para que a equação admita uma única solução:**<br />Para que a equação linear admita uma única solução, o coeficiente angular (determinante) da matriz dos coeficientes deve ser diferente de zero. Isso ocorre quando \(m \neq 0\) e \(n \neq 0\). Portanto, as condições são:<br />\[ m \neq 0 \quad \text{e} \quad n \neq 0 \]<br /><br />e) **Para que a equação admita como solução o par ordenado \((x, y) = (1, -2)\):**<br />Para que \((1, -2)\) seja uma solução, substituindo \(x = 1\) e \(y = -2\) na equação \(mx + ny = p\), devemos ter:<br />\[ m(1) + n(-2) = p \]<br />\[ m - 2n = p \]<br />Portanto, as condições são:<br />\[ m - 2n = p \]<br /><br />Resumindo, as condições para cada item são:<br /><br />a) \( m = 0, \quad n = 0, \quad p = 0 \)<br /><br />b) \( m \neq 0 \quad \text{e} \quad n \neq 0 \quad \text{e} \quad \frac{p}{m} \notin \mathbb{Z} \quad \text{e} \quad \frac{p}{n} \notin \mathbb{Z} \)<br /><br />c) \( m = 0 \quad \text{ou} \quad n = 0 \)<br /><br />d) \( m \neq 0 \quad \text{e} \quad n \neq 0 \)<br /><br />e) \( m - 2n = p \)