Uma produtora audiovisual deseja lançar uma série no formato da série Caleidoscópio,onde a ordem dos episódios não importa . Em uma reunião , decidiram que a quantidade de episódios da série deve obedecer à equação: (x!cdot (x+1)!)/((x-1)!cdot x!)=20 . Com base nessas informacões . determine de quantas formas diferentes essa série pode ser assistida e assinale a alternativa correta A) 4. B) 8. C) 20. D) 24. E) 30.

Para resolver essa equação, podemos simplificar a expressão:

$$\frac {x!\cdot (x+1)!}{(x-1)!\cdot x!}=20$$

Cancelando os termos $$x!$$ no numerador e denominador, temos:

$$\frac {(x+1)!}{(x-1)!}=20$$

Agora, podemos simplificar ainda mais a expressão:

$$(x+1)(x)(x-1)!=20(x-1)!$$

Cancelando os termos $$(x-1)!$$ no numerador e denominador, temos:

$$(x+1)(x)=20$$

Multiplicando os termos no lado esquerdo da equação, temos:

$$x^2+x=20$$

Rearranjando a equação, temos:

$$x^2+x-20=0$$

Fatorando a equação quadrática, temos:

$$(x-4)(x+5)=0$$

Portanto, as soluções para a equação são $$x=4$$ e $$x=-5$$ . No entanto, como estamos falando de quantidade de episódios, não podemos ter um número negativo de episódios. Portanto, a única solução válida é $$x=4$$ .

Agora, podemos calcular o número de formas diferentes em que a série pode ser assistida. Como a ordem dos episódios não importa, podemos usar o fatorial de $$x$$ para calcular o número de permutações possíveis:

$$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$$

Portanto, a série pode ser assistida de 24 formas diferentes. A alternativa correta é a letra D) 24.