Um reator converte urânio 238 em Isótopo de plutônio 239. apos 15 anos foi detectado que 0,043% da quantidade iniclal A_(0) de plutónio se desintegrou Encontre a mela vida desse isótopo se a taxa de des ntegração é proporcional a quantidade remanescente. Dados: Escolha uma opção: a. tcong 24,180 anos b. tcong 20,180 anos C. tcong 18,320 anos d. tcong 25,810 anos tcong 14,530 anos

Para encontrar a meia-vida do isótopo de plutônio, podemos usar a fórmula da desintegração radioativa:<br /><br />\[ N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t} \]<br /><br />Onde:<br />- \( N(t) \) é a quantidade remanescente após o tempo \( t \)<br />- \( N_0 \) é a quantidade inicial<br />- \( \lambda \) é a taxa de desintegração<br />- \( t \) é o tempo decorrido<br /><br />Dado que a taxa de desintegração é proporcional à quantidade remanescente, podemos escrever:<br /><br />\[ \lambda = k \cdot N(t) \]<br /><br />onde \( k \) é uma constante de proporcionalidade.<br /><br />Substituindo na fórmula da desintegração, temos:<br /><br />\[ N(t) = N_0 \cdot e^{-k \cdot N(t) \cdot t} \]<br /><br />Sabemos que \( N(t) = 0,999957 \cdot N_0 \) após 15 anos. Substituindo na equação, temos:<br /><br />\[ 0,999957 \cdot N_0 = N_0 \cdot e^{-k \cdot N_0 \cdot 15} \]<br /><br />Cancelando \( N_0 \) dos dois lados, temos:<br /><br />\[ 0,999957 = e^{-k \cdot 15} \]<br /><br />Tomando o logaritmo de ambos os lados, obtemos:<br /><br />\[ \ln(0,999957) = -k \cdot 15 \]<br /><br />\[ k = -\frac{\ln(0,999957)}{15} \]<br /><br />A meia-vida \( T \) é dada por:<br /><br />\[ T = \frac{\ln(2)}{k} \]<br /><br />Substituindo o valor de \( k \), temos:<br /><br />\[ T = \frac{\ln(2)}{-\frac{\ln(0,999957)}{15}} \]<br /><br />\[ T \approx 24,180 \text{ anos} \]<br /><br />Portanto, a resposta correta é:<br /><br />a. \( t \cong 24,180 \) anos