29. Calcule - conjunto solução da equação 2sen^4x-3sen^2x+1=0

Para resolver a equação \(2\sin^4(x) - 3\sin^2(x) + 1 = 0\), podemos fazer uma substituição para simplificar a expressão. Vamos substituir \(\sin^2(x)\) por \(y\). Assim, a equação se torna:<br /><br />\[2y^2 - 3y + 1 = 0\]<br /><br />Esta é uma equação quadrática na forma \(ay^2 + by + c = 0\). Podemos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:<br /><br />\[y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]<br /><br />Para a nossa equação, \(a = 2\), \(b = -3\) e \(c = 1\). Substituindo esses valores na fórmula de Bhaskara, temos:<br /><br />\[y = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}\]<br />\[y = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{4}\]<br />\[y = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{4}\]<br />\[y = \frac{3 \pm 1}{4}\]<br /><br />Isso nos dá duas soluções para \(y\):<br /><br />\[y_1 = \frac{3 + 1}{4} = 1\]<br />\[y_2 = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2}\]<br /><br />Agora, substituímos de volta \(\sin^2(x)\) por \(y\):<br /><br />Para \(y_1 = 1\):<br /><br />\[\sin^2(x) = 1\]<br />\[\sin(x) = \pm 1\]<br /><br />Para \(y_2 = \frac{1}{2}\):<br /><br />\[\sin^2(x) = \frac{1}{2}\]<br />\[\sin(x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}\]<br /><br />Portanto, as soluções para \(\sin(x)\) são:<br /><br />\[\sin(x) = 1, \sin(x) = -1, \sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}, \sin(x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\]<br /><br />Para encontrar os valores de \(x\), consideramos os intervalos de um ciclo completo \([0, 2\pi]\):<br /><br />1. \(\sin(x) = 1\):<br /> \[x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi\]<br /><br />2. \(\sin(x) = -1\):<br /> \[x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi\]<br /><br />3. \(\sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}\):<br /> \[x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi\]<br /><br />4. \(\sin(x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\):<br /> \[x = -\frac{\pi}{4} + 2k\pi\]<br /><br />Portanto, o conjunto solução da equação é:<br /><br />\[x = \left\{ \frac{\pi}{2} + 2k\pi, -\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{\pi}{4} + 2k\pi, -\frac{\pi}{4} + 2k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\}\]