2) Calcule f'(x) pela definição. Em caso de valores dados, descubra a resposta numérica. d) f(x)=(1)/(x) x=1 a) f(x)=x^2+x x=1 c) f(x)=5x-3 x=-3 e) f(x)=sqrt (x) x=3 g) f(x)=3x-1 i) f(x)=(x)/(x+1) k) f(x)=(x-3)/(2x+4) b) f(x)=sqrt (x) x=4 f) f(x)=(1)/(x^2) x=2 h) f(x)=x^3 j) f(x)=sqrt (3x+4) n f(x)=sqrt (2x-5)

Para calcular a derivada de uma função pela definição, utilizamos a seguinte fórmula:<br /><br />$f'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{{f(x+h) - f(x)}}{h}$<br /><br />Vamos calcular a derivada para cada uma das funções fornecidas:<br /><br />d) $f(x)=\frac {1}{x}\quad x=1$<br /><br />Aplicando a fórmula da derivada, temos:<br /><br />$f'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{{\frac{1}{{x+h}} - \frac{1}{x}}}{h}$<br /><br />Substituindo $x=1$, temos:<br /><br />$f'(1) = \lim_{{h \to 0}} \frac{{\frac{1}{{1+h}} - 1}}{h}$<br /><br />Simplificando a expressão, temos:<br /><br />$f'(1) = \lim_{{h \to 0}} \frac{{1 - (1+h)}}{{h(1+h)}}$<br /><br />$f'(1) = \lim_{{h \to 0}} \frac{{-h}}{{h(1+h)}}$<br /><br />$f'(1) = \lim_{{h \to 0}} \frac{{-1}}{{1+h}}$<br /><br />$f'(1) = -\frac{1}{1+0} = -1$<br /><br />Portanto, a derivada de $f(x)=\frac {1}{x}$ em $x=1$ é -1.<br /><br />a) $f(x)=x^{2}+x\quad x=1$<br /><br />Aplicando a fórmula da derivada, temos:<br /><br />$f'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{{(x+h)^{2}+(x+h) - (x^{2}+x)}}{h}$<br /><br />Substituindo $x=1$, temos:<br /><br />$f'(1) = \lim_{{h \to 0}} \frac{{(1+h)^{2}+(1+h) - (1^{2}+1)}}{h}$<br /><br />Simplificando a expressão, temos:<br /><br />$f'(1) = \lim_{{h \to 0}} \frac{{(1+2h+h^{2})+(1+h) - (1+1)}}{h}$<br /><br />$f'(1) = \lim_{{h \to 0}} \frac{{2h+h^{2}+h}}{h}$<br /><br />$f'(1) = \lim_{{h \to 0}} (2+h+1)$<br /><br />$f'(1) = 3$<br /><br />Portanto, a derivada de $f(x)=x^{2}+x$ em $x=1$ é 3.<br /><br />c) $f(x)=5x-3\quad x=-3$<br /><br />Aplicando a fórmula da derivada, temos:<br /><br />$f'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{{5(x+h)-3 - (5x-3)}}{h}$<br /><br />Substituindo $x=-3$, temos:<br /><br />$f'(-3) = \lim_{{h \to 0}} \frac{{5(-3+h)-3 - (5(-3)-3)}}{h}$<br /><br />Simplificando a expressão, temos:<br /><br />$f'(-3) = \lim_{{h \to 0}} \frac{{-15+5h-3 + 15 + 3}}{h}$<br /><br />$f'(-3) = \lim_{{h \to 0}} \frac{{5h}}{h}$<br /><br />$f'(-3) = \lim_{{h \to 0}} 5$<br /><br />$f'(-3) = 5$<br /><br />Portanto, a derivada de $f(x)=5x-3$ em $x=-3$ é 5.<br /><br />e) $f(x)=\sqrt {x}\quad x=3$<br /><br />Aplicando a fórmula da derivada, temos:<br /><br />$f'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{{\sqrt{{x+h}} - \sqrt{x}}}{h}$<br /><br />Substituindo $x=3$, temos:<br /><br />$f'(3) = \lim_{{h \to 0}} \frac{{\sqrt{{3+h}} - \sqrt{3}}}{h}$<br /><br />Para resolver essa expressão, podemos multiplicar o numerador e o denominador por $\sqrt{{3+h}} + \sqrt{3}$:<br /><br />$f'(3) = \lim_{{h \to 0}} \frac{{(\sqrt{{3+h}} - \sqrt{3})(\sqrt{{3+h}} + \sqrt{3})}}