7. O_(2) QUOCIENTE DA DIVISAO mathcal(E)_(3) P(x) FOR x^2+x+1 , E' IGUAL A 2 x^3+3 x^2-1 , E 0 P(x) ? [ P(x)=2 x^5+5 x^4+5 x^3+2 x^2+10 x-8 ]

Para encontrar o polinômio \( P(x) \), podemos usar a divisão sintética. Primeiro, precisamos organizar os coeficientes do polinômio \( P(x) \) em ordem decrescente de grau:<br /><br />\( P(x) = 2x^5 + 5x^4 + 5x^3 + 2x^2 + 10x - 8 \)<br /><br />Agora, podemos realizar a divisão sintética usando os coeficientes do polinômio \( x^2 + x + 1 \) como divisor. O quociente será igual a \( 2x^3 + 3x^2 - x \) e o resto será igual a \( 11x - 7 \).<br /><br />Realizando a divisão sintética, temos:<br /><br />\[<br />\begin{array}{r|rrrrrr}<br /> & 2 & 5 & 5 & 2 & 10 & -8 \\<br />\hline<br />1 & 2 & 7 & 12 & 14 & 24 & 16 \\<br />\end{array}<br />\]<br /><br />Portanto, o polinômio \( P(x) \) é igual a \( 2x^5 + 5x^4 + 5x^3 + 2x^2 + 10x - 8 \).