4) Dados overrightarrow (u)=(2,1,-3)eoverrightarrow (v)=(1,2,1) toma-se overrightarrow (w)=overrightarrow (u)-lambda overrightarrow (v) Determinar lambda in R para que overrightarrow (w)eoverrightarrow (u) se- jam ortogonais Interpretar o problema geometricamente.

Para que dois vetores sejam ortogonais, o produto escalar entre eles deve ser igual a zero. Portanto, precisamos calcular o produto escalar entre $\overrightarrow{w}$ e $\overrightarrow{u}$ e igualá-lo a zero.<br /><br />Dado que $\overrightarrow{w} = \overrightarrow{u} - \lambda \overrightarrow{v}$, podemos calcular o produto escalar entre $\overrightarrow{w}$ e $\overrightarrow{u}$ da seguinte forma:<br /><br />$\overrightarrow{w} \cdot \overrightarrow{u} = (\overrightarrow{u} - \lambda \overrightarrow{v}) \cdot \overrightarrow{u}$<br /><br />Agora, vamos calcular o produto escalar entre $\overrightarrow{u}$ e $\overrightarrow{u}$:<br /><br />$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} = (2,1,-3) \cdot (2,1,-3) = 2 \cdot 2 + 1 \cdot 1 + (-3) \cdot (-3) = 4 + 1 + 9 = 14$<br /><br />Em seguida, vamos calcular o produto escalar entre $\lambda \overrightarrow{v}$ e $\overrightarrow{u}$:<br /><br />$\lambda \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u} = \lambda \cdot (1,2,1) \cdot (2,1,-3) = \lambda \cdot (2 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + (-3) \cdot 1) = \lambda \cdot (2 + 2 - 3) = \lambda \cdot 1 = \lambda$<br /><br />Portanto, temos:<br /><br />$\overrightarrow{w} \cdot \overrightarrow{u} = 14 - \lambda$<br /><br />Para que $\overrightarrow{w}$ e $\overrightarrow{u}$ sejam ortogonais, o produto escalar deve ser igual a zero:<br /><br />$14 - \lambda = 0$<br /><br />Resolvendo essa equação, encontramos:<br /><br />$\lambda = 14$<br /><br />Portanto, o valor de $\lambda$ para o qual $\overrightarrow{w}$ e $\overrightarrow{u}$ são ortogonais é $\lambda = 14$.<br /><br />Geometricamente, isso significa que o vetor $\overrightarrow{w}$ é perpendicular ao vetor $\overrightarrow{u}$ quando $\lambda = 14$.