d) f(x)=(2 x)/(sqrt(2 x+2))+(1)/(x-2)

Para encontrar o domínio da função \( f(x) = \frac{2x}{\sqrt{2x+2}} + \frac{1}{x-2} \), precisamos identificar os valores de \( x \) para os quais a função é definida.<br /><br />Primeiro, vamos analisar o primeiro termo da função, \( \frac{2x}{\sqrt{2x+2}} \). Para que esse termo seja definido, o radicando \( 2x+2 \) deve ser maior ou igual a zero, pois a raiz quadrada de um número negativo não é definida. Portanto, temos:<br /><br />\( 2x+2 \geq 0 \)<br /><br />Resolvendo essa inequação, encontramos:<br /><br />\( 2x \geq -2 \)<br />\( x \geq -1 \)<br /><br />No entanto, é importante notar que o denominador \( \sqrt{2x+2} \) não pode ser igual a zero, pois isso resultaria em uma divisão por zero. Portanto, temos:<br /><br />\( 2x+2 \neq 0 \)<br />\( 2x \neq -2 \)<br />\( x \neq -1 \)<br /><br />Agora, vamos analisar o segundo termo da função, \( \frac{1}{x-2} \). Para que esse termo seja definido, o denominador \( x-2 \) não pode ser igual a zero, pois isso resultaria em uma divisão por zero. Portanto, temos:<br /><br />\( x-2 \neq 0 \)<br />\( x \neq 2 \)<br /><br />Portanto, o domínio da função é dado por todos os valores de \( x \) que satisfazem as condições acima. Em outras palavras, o domínio é:<br /><br />\( x \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 2\} \)<br /><br />Isso significa que a função é definida para todos os números reais, exceto \( x = -1 \) e \( x = 2 \).