Analisando a proposição: a equação 3x+5y=n tem solução em (INU 0 )^2 é verdadeira para todo ngeqslant 8 um estudante de Métodos de Demonstração assim escreveu: )) Defato, elaé verdadeira para n=8 pois a equação 3x+5y=8 admite a solução (x;y)=(1;1) Suponha agora que a equação 3x+5y=n tenha uma solução (a,b) para algum ngeqslant 8 istoé 3a+5b=n Note que, para qualquer solução (a,b) . devemos ter ageqslant 1oubgeqslant 1 bgeqslant 1 observando que 3times 2-5times 1=1 segue que: 3(a+2)+5(b-1)=3a+5b+3times 2-5times 1=3a+5b+1=n+1 que mostra que a equação 3x+5y=n+1 admite a solução (a+2;b-1) em (INU 0 )2 PORQUE II) Se, por acaso, b=0 então. ageqslant 3 usando a igualdade -3times 3+5times 2=1 temos: 3(a-3)+5times 2=3a-3times 3+5times 2=3a+5b+1=n+1 o que mostra que a equação 3x+5y=n+1 admite a solução (a- 3:b+2) em (INcup 0 )2 Mostramos assim que, em qualquer caso, a equação 3x+5y=n+1 admite solução, sempre que a equação 3x+5y=n para algum ngeqslant 8 tenha solução. Arespeito da afirmação feita pelo estudante, assinale a opção correta. Ambas as asserçoes são proposições falsas. A primeira asserçãoé uma proposição falsa, e a segunda é verdadeira. As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma justificativa correta da primeira. As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda é umajustificativa correta da primeira. A.primeira asserção é uma proposção verdadeira, e a segundaé falsa

opção correta é: "As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma justificativa correta da primeira."<br /><br />Vamos analisar cada uma das asserções:<br /><br />1. **Primeira asserção:** "A equação $3x+5y=n$ tem solução em $(IN\cup \{ 0\} )^{2}$ para todo $n\geqslant 8$."<br /><br /> - Para $n=8$, a equação $3x+5y=8$ é verificada pela solução $(x, y) = (1, 1)$.<br /> - Suponha que a equação $3x+5y=n$ tenha uma solução $(a, b)$ para algum $n \geq 8$. Então, $3a+5b=n$.<br /> - Para qualquer solução $(a, b)$, devemos ter $a \geq 1$ ou $b \geq 1$.<br /> - Observando que $3 \times 2 - 5 \times 1 = 1$, segue que:<br /> \[<br /> 3(a+2) + 5(b-1) = 3a + 5b + 3 \times 2 - 5 \times 1 = 3a + 5b + 1 = n + 1<br /> \]<br /> - Isso mostra que a equação $3x+5y=n+1$ admite a solução $(a+2, b-1)$ em $(IN\cup \{ 0\} )^{2}$.<br /><br /> Portanto, a primeira asserção é verdadeira.<br /><br />2. **Segunda asserção:** "A equação $3x+5y=n+1$ admite solução, sempre que a equação $3x+5y=n$ para algum $n\geqslant 8$ tenha solução."<br /><br /> - Se $b = 0$, então $a \geq 3$. Usando a igualdade $-3 \times 3 + 5 \times 2 = 1$, temos:<br /> \[<br /> 3(a-3) + 5 \times 2 = 3a - 3 \times 3 + 5 \times 2 = 3a + 5b + 1 = n + 1<br /> \]<br /> - Isso mostra que a equação $3x+5y=n+1$ admite a solução $(a-3, b+2)$ em $(IN\cup \{ 0\} )^{2}$.<br /><br /> Portanto, a segunda asserção também é verdadeira.<br /><br />No entanto, a segunda asserção não é uma justificativa correta da primeira. A primeira asserção é demonstrada diretamente, enquanto a segunda asserção é uma generalização que não segue diretamente da primeira.