1) Determinar o fluxo do campo vetorial overrightarrow (F)(x,y,z)=(2x,2y,2z) , através da superficie esférica

Para determinar o fluxo do campo vetorial $\overrightarrow{F}(x,y,z) = (2x, 2y, 2z)$ através da superfície esférica, podemos usar a fórmula do fluxo através de uma superfície fechada:<br /><br />$\iint_{S} \overrightarrow{F} \cdot d\overrightarrow{S} = \iiint_{V} (\nabla \cdot \overrightarrow{F}) \, dV$<br /><br />Onde $\overrightarrow{F}$ é o campo vetorial, $S$ é a superfície, $V$ é o volume delimitado pela superfície, $\nabla \cdot \overrightarrow{F}$ é o rotacional de $\overrightarrow{F}$ e $d\overrightarrow{S}$ é o elemento de área da superfície.<br /><br />No caso do campo vetorial $\overrightarrow{F}(x,y,z) = (2x, 2y, 2z)$, o rotacional é dado por:<br /><br />$\nabla \cdot \overrightarrow{F} = \frac{\partial}{\partial x}(2x) + \frac{\partial}{\partial y}(2y) + \frac{\partial}{\partial z}(2z) = 2 + 2 + 2 = 6$<br /><br />Agora, podemos calcular o fluxo através da superfície esférica usando a fórmula do fluxo:<br /><br />$\iint_{S} \overrightarrow{F} \cdot d\overrightarrow{S} = \iiint_{V} (\nabla \cdot \overrightarrow{F}) \, dV = \iiint_{V} 6 \, dV$<br /><br />Como a superfície é esférica, podemos usar coordenadas esféricas para calcular o volume $V$. As coordenadas esféricas são dadas por $x = \rho \sin \theta \cos \phi$, $y = \rho \sin \theta \sin \phi$ e $z = \rho \cos \theta$, onde $\rho$ é a distância radial, $\theta$ é o ângulo polar e $\phi$ é o ângulo azimutal.<br /><br />Substituindo essas coordenadas na fórmula do fluxo, temos:<br /><br />$\iint_{S} \overrightarrow{F} \cdot d\overrightarrow{S} = \iiint_{V} 6 \, dV = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{R} 6 \cdot \rho^2 \sin \theta \, d\rho \, d\theta \, d\phi$<br /><br />Resolvendo essa integral, obtemos:<br /><br />$\iint_{S} \overrightarrow{F} \cdot d\overrightarrow{S} = 6 \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{R} \rho^2 \sin \theta \, d\rho \, d\theta \, d\phi = 6 \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot R^3 = 8 \pi R^3$<br /><br />Portanto, o fluxo do campo vetorial $\overrightarrow{F}(x,y,z) = (2x, 2y, 2z)$ através da superfície esférica é igual a $8 \pi R^3$, onde $R$ é o raio da esfera.