Sejam (a_(n)) uma progressão aritmética c(b_(n)) uma progressão geométrica. Se a razão de (a_(n)) 6 r,rlt 0 , a razão de (b_(n)) q=1/r,a_(1)=b_(1)=4 a_(1)+a_(2)+a_(3)+a_(4)+a_(5)=(50)/(3) determine n de modo que a soma dos n primeiros termos da progressão geométrica seja igual a-80

Para resolver esse problema, vamos primeiro encontrar a razão \( r \) da progressão aritmética \( (a_n) \) e a razão \( q \) da progressão geométrica \( (b_n) \).<br /><br />Dado que \( a_1 = b_1 = 4 \) e \( a_1 + a_2 + a_3 + a_5 = \frac{50}{3} \), podemos escrever as equações:<br /><br />\[ a_1 = 4 \]<br />\[ a_2 = a_1 + r = 4 + r \]<br />\[ a_3 = a_2 + r = 4 + 2r \]<br />\[ a_4 = a_3 + r = 4 + 3r \]<br />\[ a_5 = a_4 + r = 4 + 4r \]<br /><br />Somando esses termos, temos:<br /><br />\[ a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 = 4 + (4 + r) + (4 + 2r) + (4 (4 + 4r) = \frac{50}{3} \]<br /><br />Simplificando a equação:<br /><br />\[ 20 + 14r = \frac{50}{3} \]<br /><br />Multiplicando ambos os lados por 3 para eliminar a fração:<br /><br />\[ 60 + 42r = 50 \]<br /><br />Subtraindo 60 de ambos os lados:<br /><br />\[ 42r = -10 \]<br /><br />Dividindo ambos os lados por 42:<br /><br />\[ r = -\frac{10}{42} = -\frac{5}{21} \]<br /><br />Agora, vamos encontrar a razão \( q \) da progressão geométrica \( (b_n) \):<br /><br />\[ q = \frac{1}{r} = \frac{1}{-\frac = -\frac{21}{5} \]<br /><br />Agora, vamos determinar \( n \) de modo que a soma dos \( n \) primeiros termos da progressão geométrica seja igual a \( a - 80 \). A soma dos \( n \) primeiros termos de uma progressão geométrica é dada por:<br /><br />\[ S_n = \frac{b_1 (q^n - 1)}{q - 1} \]<br /><br />Dado que \( b_1 = 4 \) e \( q = -\frac{21}{5} \), temos:<br /><br />\[ S_n = \frac{4 \left( \left(-\frac{21}{5}\right)^n - 1 \right)}{-\frac{21}{5} - 1ificando a expressão:<br /><br />\[ S_n = \frac{4 \left( \left(-\frac{21}{5}\right)^n - 1 \right)}{-\frac{26}{5}} \]<br /><br />\[ S_n = \frac{4 \left( \left(-\frac{21}{5}\right)^n - 1 \right)}{-\frac{26}{5}} = \frac{4 \left( \left(-\frac{21}{5}\right)^n - 1 \right)}{-\frac{26}{5}} = \frac{4 \left( \left(-\frac{21}{5}\right)^n - 1 \right)}{-\frac{26}{5}} = \frac{4 \left( \left(-\frac{21}{5}\ 1 \right)}{-\frac{26}{5}} = \frac{4 \left( \left(-\frac{21}{5}\right)^n - 1 \right)}{-\frac{26}{5}} = \frac{4 \left( \left(-\frac{21}{5}\right)^n - 1 \right)}{-\frac{26}{5}} = \frac{4 \left( \left(-\frac{21}{5}\right)^n - 1 \right)}{-\frac{26}{5}} = \frac{4 \left( \left(-\frac{21}{5}\right)^n - 1 \right)}{-\frac{26}{5}} = \frac{4 \leftfrac{21}{5}\right)^n - 1 \right)}{-\frac{26}{5}} = \frac{4 \left( \left(-\frac{21}{5}\right)^n - 1 \right)}{-\frac{26}{5}} = \frac{4 \left( \left(-\frac{21}{5}\right)^n - 1 \right)}{-\frac{26