Escrever a equação geral do plano determinado pelos pontos: a) A(4;2;0),B(2,-3,1) e C(1,-1,-1)

【Resposta】: A equação geral do plano é 3x - 7y - z - 11 = 0.<br /><br />【Explicação】: Um plano no espaço 3D pode ser determinado por três pontos não colineares. Os pontos fornecidos na pergunta são A(4;2;0),B(2,-3,1) e C(1,-1,-1). Podemos usar estes pontos para calcular dois vetores AB e AC que estão no plano. <br /><br />O vetor AB é [B-A] = [-2,-5,1] e o vetor AC é [C-A] = [-3,-3,-1]. <br /><br />A seguir, calculamos o vetor normal ao plano que é o produto vetorial AB x AC:<br />N = AB x AC = [(-5*-1)-(1*-3), (1*-3)-(-2*-1), (-2*-3)-(-5*-3)]<br />N = [2, -2, -6]<br />Normalizando, temos n = [1, -1, -3].<br /><br />Usamos agora um ponto qualquer dos citados (por exemplo, o A) para encontrar o termo independente da equação geral do plano. Substituímos os valores de A e N na equação geral do plano (Ax + By + Cz + D = 0) para obter D. Doing this we get D = -(1*4+(-1)*2+(-3)*0) = -2. Rewriting the entire equation in terms of 'x,' 'y,' and ,'z, 'we finally get 3x - 7y - z - 11 = 0.