4. Calcule as derivadas: a) y=ln(x^2+1) b) y=e^-x^(2) C) y=(x)/(1+x^2) d) y=(5x^2+12x)^2

Vamos calcular as derivadas das funções fornecidas:<br /><br />a) \( y = \ln(x^2 + 1) \)<br /><br />Para encontrar a derivada, usamos a regra da cadeia. A derivada de \( \ln(u) \) é \( \frac{1}{u} \), e a derivada de \( x^2 + 1 \) é \( 2x \). Assim, temos:<br /><br />\[ y' = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + 1} \]<br /><br />b) \( y = e^{-x^2} \)<br /><br />Novamente, usamos a regra da cadeia. A derivada de \( e^u \) é \( e^u \), e a derivada de \( -x^2 \) é \( -2x \). Assim, temos:<br /><br />\[ y' = e^{-x^2} \cdot (-2x) = -2x e^{-x^2} \]<br /><br />c) \( y = \frac{x}{1 + x^2} \)<br /><br />Usamos a regra do quociente. Se \( y = \frac{u}{v} \), então \( y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \). Aqui, \( u = x \) e \( v = 1 + x^2 \). Então:<br /><br />\[ u' = 1 \]<br />\[ v' = 2x \]<br /><br />\[ y' = \frac{(1)(1 + x^2) - (x)(2x)}{(1 + x^2)^2} = \frac{1 + x^2 - 2x^2}{(1 + x^2)^2} = \frac{1 - x^2}{(1 + x^2)^2} \]<br /><br />d) \( y = (5x^2 + 12x)^2 \)<br /><br />Usamos a regra da cadeia. Se \( y = u^2 \) e \( u = 5x^2 + 12x \), então \( y' = 2u \cdot u' \). Primeiro, encontramos \( u' \):<br /><br />\[ u' =x + 12 \]<br /><br />Então, a derivada é:<br /><br />\[ y' = 2(5x^2 + 12x) \cdot (10x + 12) \]<br /><br />Portanto, as derivadas são:<br /><br />a) \( y' = \frac{2x}{x^2 + 1} \)<br /><br />b) \( y' = -2x e^{-x^2} \)<br /><br />c) \( y' = \frac{1 - x^2}{(1 + x^2)^2} \)<br /><br />d) \( y' = 2(5x^2 + 12x) \cdot (10x + 12) \)