10 - Simplifiq ue as expressões: (n!)/((n-1)!) ((3n)!+(3n-1)!)/((3n+1)!)

Vamos simplificar as expressões fornecidas:<br /><br />1. $\frac {n!}{(n-1)!}$<br /><br />Para simplificar essa expressão, podemos usar a propriedade dos fatoriais. O fatorial de um número é definido como o produto de todos os números inteiros de 1 até esse número. Portanto, podemos reescrever o fatorial de n como:<br /><br />$n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \ldots \times 2 \times 1$<br /><br />Agora, podemos substituir essa expressão na fórmula original:<br /><br />$\frac {n!}{(n-1)!} = \frac {n \times (n-1) \times (n-2) \times \ldots \times 2 \times 1}{(n-1) \times (n-2) \times \ldots \times 2 \times 1}$<br /><br />Observamos que todos os termos de $(n-1)!$ estão presentes no numerador, exceto o último termo, que é n. Portanto, podemos cancelar todos os termos comuns:<br /><br />$\frac {n!}{(n-1)!} = n$<br /><br />Portanto, a expressão $\frac {n!}{(n-1)!}$ simplifica-se para n.<br /><br />2. $\frac {(3n)!+(3n-1)!}{(3n+1)!}$<br /><br />Para simplificar essa expressão, podemos usar a propriedade dos fatoriais. Podemos reescrever o fatorial de 3n como:<br /><br />$(3n)! = 3n \times (3n-1) \times (3n-2) \times \ldots \times 2 \times 1$<br /><br />E o fatorial de 3n-1 como:<br /><br />$(3n-1)! = (3n-1) \times (3n-2) \times \ldots \times 2 \times 1$<br /><br />Agora, podemos substituir essas expressões na fórmula original:<br /><br />$\frac {(3n)!+(3n-1)!}{(3n+1)!} = \frac {3n \times (3n-1) \times (3n-2) \times \ldots \times 2 \times 1 + (3n-1) \times (3n-2) \times \ldots \times 2 \times 1}{(3n+1) \times 3n \times (3n-1) \times (3n-2) \times \ldots \times 2 \times 1}$<br /><br />Observamos que todos os termos de $(3n-1)!$ estão presentes no numerador, exceto o último termo, que é 3n. Portanto, podemos cancelar todos os termos comuns:<br /><br />$\frac {(3n)!+(3n-1)!}{(3n+1)!} = \frac {3n + (3n-1)}{(3n+1) \times 3n}$<br /><br />Simplificando a expressão dentro do parênteses:<br /><br />$\frac {(3n)!+(3n-1)!}{(3n+1)!} = \frac {6n - 1}{(3n+1) \times 3n}$<br /><br />Portanto, a expressão $\frac {(3n)!+(3n-1)!}{(3n+1)!}$ simplifica-se para $\frac {6n - 1}{(3n+1) \times 3n}$.