47. Quantos números de 5 algarismos podem ser forma- dos usando-se apenas os algarismos 2,2,2 , 2,3e47 48. (Enem)Nos livros Harry Potter, um anagrama do nome do personagem "TOM MARVOLO RIDDLE" gerou a fra- se "I AM LO RD VOLDEMORT". Suponha que Harry quisesse formar todos os anagra- mas da frase "I AM POTTER", de tal forma que as VO- gais e consoantes aparecessem sempre intercaladas e sem considerar o espaçame nto entre as letras. Nessas condições, 0 número de anagramas formados é dado por: a) 9! b) 4!5 I C) 2cdot 4!5! d) (9!)/(2) e) (4!5!)/(2)

47. Para determinar quantos números de 5 algarismos podem ser formados usando apenas os algarismos 2, 2, 2, 2 e 3, podemos considerar que temos 4 algarismos iguais (2's) e 1 algarismo diferente (3). Podemos calcular o número de permutações desses algarismos usando a fórmula de permutação, que é dada por:<br /><br />\[ P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!} \]<br /><br />Onde n é o número total de elementos e r é o número de elementos que estamos permutando.<br /><br />Nesse caso, temos 4 algarismos iguais (2's) e 1 algarismo diferente (3), então podemos calcular o número de permutações como:<br /><br />\[ P(5, 1) = \frac{5!}{(5-1)!} = \frac{5!}{4!} = 5 \]<br /><br />Portanto, o número de números de 5 algarismos que podem ser formados usando apenas os algarismos 2, 2, 2, 2 e 3 é 5.<br /><br />48. Para determinar o número de anagramas formados a partir da frase "I AM POTTER", de tal forma que as vogais e consoantes apareçam sempre intercaladas e sem considerar o espaçamento entre as letras, podemos considerar que temos 3 vogais (I, A, O) e 6 consoantes (P, O, T, T, E, R). Podemos calcular o número de permutações dessas vogais e consoantes usando a fórmula de permutação, que é dada por:<br /><br />\[ P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!} \]<br /><br />Onde n é o número total de elementos e r é o número de elementos que estamos permutando.<br /><br />Nesse caso, temos 3 vogais e 6 consoantes, então podemos calcular o número de permutações como:<br /><br />\[ P(9, 3) = \frac{9!}{(9-3)!} = \frac{9!}{6!} = 9 \times 8 \times 7 = 504 \]<br /><br />Portanto, o número de anagramas formados a partir da frase "I AM POTTER" de tal forma que as vogais e consoantes apareçam sempre intercaladas é 504.<br /><br />A resposta correta para a pergunta 48 é a opção d) $\frac {9!}{2}$.