10. Simplifique as expressões: a) (n!)/((n-1)!) b ((3n)!+(3n-1)!)/((3n+1)!)

Vamos simplificar as expressões fornecidas:<br /><br />a) $\frac {n!}{(n-1)!}$<br /><br />Para simplificar essa expressão, podemos usar a propriedade dos fatoriais. O fatorial de um número é definido como o produto de todos os números inteiros de 1 até esse número. Portanto, podemos reescrever o fatorial de n como:<br /><br />$n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \ldots \times 2 \times 1$<br /><br />E o fatorial de (n-1) como:<br /><br />$(n-1)! = (n-1) \times (n-2) \times \ldots \times 2 \times 1$<br /><br />Agora, podemos substituir essas expressões na fórmula original:<br /><br />$\frac {n!}{(n-1)!} = \frac {n \times (n-1) \times (n-2) \times \ldots \times 2 \times 1}{(n-1) \times (n-2) \times \ldots \times 2 \times 1}$<br /><br />Observando que todos os termos de (n-1)! aparecem no numerador e no denominador, podemos cancelá-los:<br /><br />$\frac {n!}{(n-1)!} = n$<br /><br />Portanto, a expressão simplificada é n.<br /><br />b) $\frac {(3n)!+(3n-1)!}{(3n+1)!}$<br /><br />Para simplificar essa expressão, podemos usar a propriedade dos fatoriais novamente. Podemos reescrever o fatorial de (3n) como:<br /><br />$(3n)! = 3n \times (3n-1) \times (3n-2) \times \ldots \times 2 \times 1$<br /><br />E o fatorial de (3n-1) como:<br /><br />$(3n-1)! = (3n-1) \times (3n-2) \times \ldots \times 2 \times 1$<br /><br />Agora, podemos substituir essas expressões na fórmula original:<br /><br />$\frac {(3n)!+(3n-1)!}{(3n+1)!} = \frac {3n \times (3n-1) \times (3n-2) \times \ldots \times 2 \times 1 + (3n-1) \times (3n-2) \times \ldots \times 2 \times 1}{(3n+1) \times (3n) \times (3n-1) \times (3n-2) \times \ldots \times 2 \times 1}$<br /><br />Observando que todos os termos de (3n-1)! aparecem no numerador e no denominador, podemos cancelá-los:<br /><br />$\frac {(3n)!+(3n-1)!}{(3n+1)!} = \frac {3n + 1}{3n+1}$<br /><br />Portanto, a expressão simplificada é 1.<br /><br />Espero que isso ajude a esclarecer a simplificação das expressões fornecidas.