17. Aothe as ecotremidades do diemetro da esfera S: x^2+y^2+z^2+2 x-6 y+z-15=0 e. perpendicular ao plano pi: 5 x-y+2 z=17

Para determinar se a reta \( S \) é perpendicular ao plano \( \pi \), precisamos calcular o produto escalar entre o vetor diretor da reta e o vetor normal ao plano. Se o produto escalar for igual a zero, então a reta é perpendicular ao plano.<br /><br />Vamos começar encontrando o vetor diretor da reta \( S \). Para isso, precisamos reescrever a equação da reta na forma paramétrica. A equação da reta \( S \) é dada por:<br /><br />\( S: x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 x-6 y+z-15=0 \)<br /><br />Podemos reescrever essa equação como:<br /><br />\( (x+1)^{2}+(y-3)^{2}+(z-\frac{1}{2})^{2}=\frac{49}{4} \)<br /><br />Isso nos dá um círculo com centro em \( (-1,3,\frac{1}{2}) \) e raio \( \frac{7}{2} \). Portanto, o vetor diretor da reta \( S \) é dado por:<br /><br />\( \vec{d} = \langle 1, -3, 2 \rangle \)<br /><br />Agora, vamos encontrar o vetor normal ao plano \( \pi \). A equação do plano \( \pi \) é dada por:<br /><br />\( \pi: 5 x-y+2 z=17 \)<br /><br />O vetor normal ao plano \( \pi \) é dado por:<br /><br />\( \vec{n} = \langle 5, -1, 2 \rangle \)<br /><br />Agora, calculamos o produto escalar entre o vetor diretor da reta e o vetor normal ao plano:<br /><br />\( \vec{d} \cdot \vec{n} = (1)(5) + (-3)(-1) + (2)(2) = 5 + 3 + 4 = 12 \)<br /><br />Como o produto escalar não é igual a zero, concluímos que a reta \( S \) não é perpendicular ao plano \( \pi \).