2. Considere a equação linear y''-2y'+y=0 e responda os itens abaixo. (a) Mostre que y(x)=xe^x é uma solução para a equação acima. (b) Mostre que se y_(1) e y_(2) são soluções da EDO acima então y_(1)+y_(2) também é solução desta EDO. (c) Mostre que se y_(3) é solução da EDO acima ecin R então ccdot y_(3) também é solução da EDO acima.

(a) Para mostrar que \( y(x) = xe^x \) é uma solução da equação diferencial \( y'' - 2y' + y = 0 \), precisamos calcular as derivadas de \( y(x) \) e substituí-las na equação.<br /><br />Primeira derivada:<br />\[ y'(x) = \frac{d}{dx}(xe^x) = e^x + xe^x. \]<br /><br />Segunda derivada:<br />\[ y''(x) = \frac{d}{dx}(e^x + xe^x) = e^x + (e^x + xe^x) = 2e^x + xe^x. \]<br /><br />Substituindo em \( y'' - 2y' + y = 0 \):<br />\[<br />y'' - 2y' + y = (2e^x + xe^x) - 2(e^x + xe^x) + xe^x.<br />\]<br />Simplificando:<br />\[<br />= 2e^x + xe^x - 2e^x - 2xe^x + xe^x = 0.<br />\]<br />Portanto, \( y(x) = xe^x \) é uma solução da equação diferencial.<br /><br />(b) Se \( y_1 \) e \( y_2 \) são soluções da equação diferencial, então:<br />\[ y_1'' - 2y_1' + y_1 = 0 \]<br />e<br />\[ y_2'' - 2y_2' + y_2 = 0. \]<br /><br />Queremos mostrar que \( y_1 + y_2 \) também é solução. Calculamos:<br />\[<br />(y_1 + y_2)'' - 2(y_1 + y_2)' + (y_1 + y_2).<br />\]<br />Isso se expande para:<br />\[<br />(y_1'' + y_2'') - 2(y_1' + y_2') + (y_1 + y_2).<br />\]<br />Reagrupando:<br />\[<br />= (y_1'' - 2y_1' + y_1) + (y_2'' - 2y_2' + y_2).<br />\]<br />Como \( y_1 \) e \( y_2 \) são soluções, temos:<br />\[<br />= 0 + 0 = 0.<br />\]<br />Portanto, \( y_1 + y_2 \) é uma solução da equação diferencial.<br /><br />(c) Se \( y_3 \) é uma solução da equação diferencial, então:<br />\[ y_3'' - 2y_3' + y_3 = 0. \]<br /><br />Queremos mostrar que \( c \cdot y_3 \) também é solução. Calculamos:<br />\[<br />(c \cdot y_3)'' - 2(c \cdot y_3)' + (c \cdot y_3).<br />\]<br />Isso se expande para:<br />\[<br />c \cdot y_3'' - 2c \cdot y_3' + c \cdot y_3.<br />\]<br />Fatorando \( c \):<br />\[<br />= c(y_3'' - 2y_3' + y_3).<br />\]<br />Como \( y_3 \) é solução, temos:<br />\[<br />= c \cdot 0 = 0.<br />\]<br />Portanto, \( c \cdot y_3 \) é uma solução da equação diferencial.