06. (ENEM-2019) Durante suas férias, oito amigos, são canhotos, decidem realizar um torneio de vôlei de praia. Eles precisam formar quatro duplas para a realização do torneio. Nenhuma dupla pode ser formada por dois jogadores canhotos. De quantas maneiras diferentes podem ser formadas essas quatro duplas? A) 69 B) 70 C) 90 D) 104 E) 105

Para resolver esse problema, podemos usar o conceito de combinação. Temos 8 amigos canhotos e queremos formar 4 duplas, sem que nenhum par seja composto por dois canhotos.

Primeiro, vamos calcular o número total de maneiras de escolher 4 jogadores entre os 8 amigos. Isso pode ser feito usando a fórmula de combinação:

$$C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

Onde $n$ é o número total de elementos e $k$ é o número de elementos a serem escolhidos.

Para $n = 8$ e $k = 4$:

$$C(8, 4) = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4!4!} = \frac{40320}{24 \cdot 24} = \frac{40320}{576} = 70$$

Portanto, há 70 maneiras de escolher 4 jogadores entre 8.

Agora, precisamos subtrair o número de duplas que contêm dois canhotos. Se cada dupla fosse composta por dois canhotos, teríamos que calcular o número de maneiras de escolher 4 canhotos entre 4 (pois cada dupla teria 2 canhotos):

$$C(4, 4) = \frac{4!}{4!0!} = 1$$

Portanto, há 1 maneira de formar duplas com dois canhotos.

Finalmente, subtraímos esse valor do total de combinações:

$$70 - 1 = 69$$

Portanto, o número de maneiras diferentes de formar as quatro duplas, sem que nenhum par seja composto por dois canhotos, é 69.

A resposta correta é a alternativa A) 69.