1. Questão Determine a posição relativa entre as retas r_(1)in r_(2) com as seguintes propriedades: A reta n passa pelo ponto P_(1)=(0,1,0) e é paralela ao vetor overrightarrow (v)_(1)= (2,1,1) e a reta r_(2) passa pelo ponto P_(2)=(0,1,2) e éparalela ao vetor overrightarrow (v)_(2)=(1,1,0)

Para determinar a posição relativa entre as retas $r_{1}$ e $r_{2}$, podemos utilizar o conceito de vetores direcionais. <br /><br />A reta $r_{1}$ é paralela ao vetor $\overrightarrow {v}_{1}=(2,1,1)$, o que significa que todos os pontos dessa reta podem ser representados pela fórmula paramétrica:<br /><br />$P(t) = P_{1} + t\overrightarrow {v}_{1} = (0,1,0) + t(2,1,1) = (2t, 1+t, t)$<br /><br />Da mesma forma, a reta $r_{2}$ é paralela ao vetor $\overrightarrow {v}_{2}=(1,1,0)$, o que significa que todos os pontos dessa reta podem ser representados pela fórmula paramétrica:<br /><br />$Q(s) = P_{2} + s\overrightarrow {v}_{2} = (0,1,2) + s(1,1,0) = (s, 1+s, 2)$<br /><br />Para determinar a posição relativa entre as retas, podemos calcular o produto vetorial entre os vetores direcionais $\overrightarrow {v}_{1}$ e $\overrightarrow {v}_{2}$:<br /><br />$\overrightarrow {v}_{1} \times \overrightarrow {v}_{2} = \begin{vmatrix}<br />\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\<br />2 & 1 & 1 \\<br />1 & 1 & 0<br />\end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 0 - 1 \cdot 1) - \mathbf{j}(2 \cdot 0 - 1 \cdot 1) + \mathbf{k}(2 \cdot 1 - 1 \cdot 1) = (-1, -1, 1)$<br /><br />O produto vetorial resulta em um vetor não nulo, o que indica que as retas não são paralelas. Portanto, podemos concluir que as retas $r_{1}$ e $r_{2}$ são retas em interseção.