13)UFSC ) Numa P.G.de 6 termos a razio 65. O produto do 1^circ termo com o ultimo é 12500. Determine o valor do 3^circ termo. Obs : Considere a P G. de termos positivos.

Para resolver esse problema, podemos usar a fórmula do termo geral de uma progressão geométrica (P.G.).<br /><br />A fórmula do termo geral de uma P.G. é dada por:<br /><br />$a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}$<br /><br />Onde:<br />- $a_n$ é o termo geral da P.G.<br />- $a_1$ é o primeiro termo da P.G.<br />- $r$ é a razão da P.G.<br />- $n$ é a posição do termo na P.G.<br /><br />No caso dado, temos uma P.G. de 6 termos com razão 65. O produto do primeiro termo com o último é igual a 12500.<br /><br />Podemos escrever a seguinte equação:<br /><br />$a_1 \cdot a_6 = 12500$<br /><br />Usando a fórmula do termo geral, podemos substituir $a_6$:<br /><br />$a_1 \cdot (a_1 \cdot r^5) = 12500$<br /><br />Simplificando a equação:<br /><br />$a_1^2 \cdot r^5 = 12500$<br /><br />Agora, precisamos determinar o valor do terceiro termo da P.G. Usando novamente a fórmula do termo geral, podemos substituir $n$ por 3:<br /><br />$a_3 = a_1 \cdot r^2$<br /><br />Podemos resolver essa equação substituindo o valor de $a_1$ em termos de $r$:<br /><br />$a_1 = \sqrt[5]{\frac{12500}{r^5}}$<br /><br />Substituindo esse valor na fórmula do terceiro termo:<br /><br />$a_3 = \sqrt[5]{\frac{12500}{r^5}} \cdot r^2$<br /><br />Simplificando a expressão:<br /><br />$a_3 = \sqrt[5]{12500} \cdot r^2$<br /><br />Agora, podemos calcular o valor de $a_3$ substituindo o valor de $r$:<br /><br />$a_3 = \sqrt[5]{12500} \cdot 65^2$<br /><br />Calculando o valor numérico:<br /><br />$a_3 \approx 4 \cdot 4225$<br /><br />$a_3 \approx 16890$<br /><br />Portanto, o valor do terceiro termo da P.G. é aproximadamente 16890.