4. Calcule int _(gamma )xdx+dy+2dz onde yé a interseção do paraboloide z=x^2+y^2 com o plano z=2x+2y-1 : 0 sentido de percurso deve ser escolhido de modo que a projeção de gamma (t) no plano xy, caminhe no sentido anti-horário.

Para calcular a integral \(\int_{\gamma} x \, dx + dy + 2 \, dz\), onde \(\gamma\) é a interseção do paraboloide \(z = x^2 + y^2\) com o plano \(z = 2x + 2y - 1\), precisamos seguir alguns passos:<br /><br />1. **Encontrar a curva de interseção \(\gamma\)**:<br /> A interseção ocorre quando \(z = x^2 + y^2 = 2x + 2y - 1\). Simplificando, obtemos:<br /> \[<br /> x^2 + y^2 - 2x - 2y + 1 = 0<br /> \]<br /> Esta é a equação de um círculo com centro em \((1, 1)\) e raio \(\sqrt{1 - 1} = 0\). Portanto, a interseção é um ponto único \((1, 1, 1)\).<br /><br />2. **Parametrizar a curva \(\gamma\)**:<br /> Como \(\gamma\) é um ponto único, podemos parametrizá-lo como uma linha reta que passa por \((1, 1, 1)\). Uma parametrização simples é:<br /> \[<br /> \gamma(t) = (1, 1, 1), \quad t \in [0, 1]<br /> \]<br /><br />3. **Calcular a integral ao longo da curva \(\gamma\)**:<br /> A integral \(\int_{\gamma} x \, dx + dy + 2 \, dz\) pode ser calculada diretamente, já que \(\gamma\) é uma linha reta. No entanto, como a curva é um ponto único, a integral é simplesmente zero, pois não há "caminho" a seguir.<br /><br />Portanto, a integral \(\int_{\gamma} x \, dx + dy + 2 \, dz\) é zero.