lim _(xarrow +infty )(1+(5)/(2x))^(x)/(3)

Para resolver o limite dado, podemos usar a regra de L'Hôpital. Vamos começar simplificando a expressão:<br /><br />$\lim _{x\rightarrow +\infty }(1+\frac {5}{2x})^{\frac {x}{3}}$<br /><br />Podemos reescrever a expressão como:<br /><br />$\lim _{x\rightarrow +\infty } (1+\frac {5}{2x})^{\frac {2x}{6}}$<br /><br />Agora, podemos aplicar a regra de L'Hôpital, que nos diz que podemos tomar a derivada do numerador e do denominador separadamente:<br /><br />$\lim _{x\rightarrow +\infty } \frac {d}{dx} (1+\frac {5}{2x})^{\frac {2x}{6}}$<br /><br />Aplicando a regra da cadeia, temos:<br /><br />$\lim _{x\rightarrow +\infty } \frac {2x}{6} \cdot \frac {d}{dx} (1+\frac {5}{2x})^{\frac {1}{3}}$<br /><br />Derivando novamente, temos:<br /><br />$\lim _{x\rightarrow +\infty } \frac {2x}{6} \cdot \frac {1}{3} \cdot (1+\frac {5}{2x})^{-\frac {2}{3}} \cdot \frac {d}{dx} (1+\frac {5}{2x})$<br /><br />Derivando novamente, temos:<br /><br />$\lim _{x\rightarrow +\infty } \frac {2x}{6} \cdot \frac {1}{3} \cdot (1+\frac {5}{2x})^{-\frac {2}{3}} \cdot \frac {-5}{2x^2}$<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />$\lim _{x\rightarrow +\infty } \frac {-5}{12x^2} \cdot (1+\frac {5}{2x})^{-\frac {2}{3}}$<br /><br />Como $x$ tende ao infinito, $\frac {5}{2x}$ tende a zero, então $(1+\frac {5}{2x})^{-\frac {2}{3}}$ tende a $1^{-\frac {2}{3}}$, que é igual a $1$. Portanto, o limite é:<br /><br />$\lim _{x\rightarrow +\infty } \frac {-5}{12x^2} \cdot 1 = 0$<br /><br />Portanto, a resposta correta é 0.