CALCULE A DEEIVADA PIEGICIOUAL DA funçÃO f(x, y)=2 x^2 operatorname(sen) y+y^3 cos x NOPouto a=((pi)/(4), 0) u=(1,0

Para calcular a derivada parcial da função \( f(x, y) = 2x^2 \sin(y) + y^3 \cos(x) \) no ponto \( a = \left(\frac{\pi}{4}, 0\right) \) em relação à direção \( u = (1,0) \), precisamos usar a fórmula da derivada parcial direcional.<br /><br />A fórmula da derivada parcial direcional é dada por:<br /><br />\[ \frac{\partial f}{\partial u} = \nabla f \cdot \frac{u}{\|u\|} \]<br /><br />Onde \( \nabla f \) é o gradiente da função \( f \), \( u \) é o vetor de direção e \( \|u\| \) é a norma do vetor \( u \).<br /><br />Primeiro, vamos calcular o gradiente da função \( f \):<br /><br />\[ \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) \]<br /><br />Calculando as derivadas parciais:<br /><br />\[ \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( 2x^2 \sin(y) + y^3 \cos(x) \right) = 4x \sin(y) - y^3 \sin(x) \]<br /><br />\[ \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( 2x^2 \sin(y) + y^3 \cos(x) \right) = 2x^2 \cos(y) + 3y^2 \cos(x) \]<br /><br />Agora, vamos calcular o gradiente no ponto \( a = \left(\frac{\pi}{4}, 0\right) \):<br /><br />\[ \nabla f \left(\frac{\pi}{4}, 0\right) = \left( 4 \cdot \frac{\pi}{4} \cdot \sin(0) - 0 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{4}\right), 2 \cdot \left(\frac{\pi}{4}\right)^2 \cdot \cos(0) + 3 \cdot 0^2 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) \right) = \left( 0, \frac{\pi^2}{8} \right) \]<br /><br />Finalmente, vamos calcular a derivada parcial direcional no ponto \( a \) em relação à direção \( u = (1,0) \):<br /><br />\[ \frac{\partial f}{\partial u} = \nabla f \left(\frac{\pi}{4}, 0\right) \cdot \frac{u}{\|u\|} = \left( 0, \frac{\pi^2}{8} \right) \cdot \frac{(1,0)}{\sqrt{1^2 + 0^2}} = \left( 0, \frac{\pi^2}{8} \right) \]<br /><br />Portanto, a derivada parcial da função \( f(x, y) \) no ponto \( a = \left(\frac{\pi}{4}, 0\right) \) em relação à direção \( u = (1,0) \) é \( \frac{\pi^2}{8} \).