) y=2x+1 x^2-y^2=-21

Vamos resolver o sistema de equações dado:<br /><br />\[<br />\begin{cases}<br />y = 2x + 1 \\<br />x^2 - y^2 = -21<br />\end{cases}<br />\]<br /><br />Primeiro, substituímos \( y \) da primeira equação na segunda equação:<br /><br />\[<br />x^2 - (2x + 1)^2 = -21<br />\]<br /><br />Expandimos \( (2x + 1)^2 \):<br /><br />\[<br />(2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1<br />\]<br /><br />Então, substituímos na segunda equação:<br /><br />\[<br />x^2 - (4x^2 + 4x + 1) = -21<br />\]<br /><br />Simplificamos:<br /><br />\[<br />x^2 - 4x^2 - 4x - 1 = -21<br />\]<br /><br />\[<br />-3x^2 - 4x - 1 = -21<br />\]<br /><br />Somamos 21 a ambos os lados:<br /><br />\[<br />-3x^2 - 4x + 20 = 0<br />\]<br /><br />Multiplicamos toda a equação por -1 para simplificar:<br /><br />\[<br />3x^2 + 4x - 20 = 0<br />\]<br /><br />Resolvemos essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:<br /><br />\[<br />x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}<br />\]<br /><br />Aqui, \( a = 3 \), \( b = 4 \), e \( c = -20 \):<br /><br />\[<br />x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-20)}}{2 \cdot 3}<br />\]<br /><br />\[<br />x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 240}}{6}<br />\]<br /><br />\[<br />x = \frac{-4 \pm \sqrt{256}}{6}<br />\]<br /><br />\[<br />x = \frac{-4 \pm 16}{6}<br />\]<br /><br />Isso nos dá duas soluções:<br /><br />\[<br />x = \frac{12}{6} = 2 \quad \text{ou} \quad x = \frac{-20}{6} = -\frac{10}{3}<br />\]<br /><br />Agora, substituímos esses valores de \( x \) na primeira equação para encontrar \( y \):<br /><br />Para \( x = 2 \):<br /><br />\[<br />y = 2(2) + 1 = 5<br />\]<br /><br />Para \( x = -\frac{10}{3} \):<br /><br />\[<br />y = 2 \left(-\frac{10}{3}\right) + 1 = -\frac{20}{3} + 1 = -\frac{20}{3} + \frac{3}{3} = -\frac{17}{3}<br />\]<br /><br />Portanto, as soluções do sistema são:<br /><br />\[<br />(x, y) = (2, 5) \quad \text{ou} \quad \left(-\frac{10}{3}, -\frac{17}{3}\right)<br />\]