2. Encontre a transformação linear T:R^3arrow R^2 , que satisfaz T(v_(1))=(1,0),T(v_(2))=(-1,1) e T(v_(1))=(0,1) Sendo que v_(1)= (1,2,1),v_(2)=(2,9,0) e v_(3)=(3,3,4)

Para encontrar a transformação linear \( T: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2 \) que satisfaz as condições dadas, precisamos determinar a matriz de \( T \) usando as bases fornecidas.<br /><br />Dado que:<br />\[ T(v_1) = (1, 0), \quad T(v_2) = (-1, 1), \quad T(v_3) = (0, 1) \]<br />onde:<br />\[ v_1 = (1, 2, 1), \quad v_2 = (2, 9, 0), \quad v_3 = (3, 3, 4) \]<br /><br />Primeiro, precisamos encontrar os vetores \( v_1, v_2 \) e \( v_3 \) em termos das colunas da matriz de \( T \). Vamos escrever cada vetor como uma combinação linear das colunas da matriz de \( T \).<br /><br />Suponha que a matriz de \( T \) seja:<br />\[ A = \begin{pmatrix}<br />a_{11} & a_{12} & a_{13} \\<br />a_{21} & a_{22} & a_{23}<br />\end{pmatrix} \]<br /><br />Para \( T(v_1) = (1, 0) \):<br />\[ \begin{pmatrix}<br />1 \\<br />2 \\<br />1<br />\end{pmatrix} = a_{11} \begin{pmatrix}<br />1 \\<br />0<br />\end{pmatrix} + a_{12} \begin{pmatrix}<br />0 \\<br />1<br />\end{pmatrix} + a_{13} \begin{pmatrix}<br />0 \\<br />0<br />\end{pmatrix} \]<br />Isso implica que:<br />\[ a_{11} = 1 \]<br />\[ a_{12} = 0 \]<br />\[ a_{13} = 0 \]<br /><br />Para \( T(v_2) = (-1, 1) \):<br />\[ \begin{pmatrix}<br />2 \\<br />9 \\<br />0<br />\end{pmatrix} = a_{11} \begin{pmatrix}<br />1 \\<br />0<br />\end{pmatrix} + a_{12} \begin{pmatrix}<br />0 \\<br />1<br />\end{pmatrix} + a_{13} \begin{pmatrix}<br />0 \\<br />0<br />\end{pmatrix} \]<br />Isso implica que:<br />\[ a_{11} = -1 \]<br />\[ a_{12} = 1 \]<br />\[ a_{13} = 0 \]<br /><br />Para \( T(v_3) = (0, 1) \):<br />\[ \begin{pmatrix}<br />3 \\<br />3 \\<br />4<br />\end{pmatrix} = a_{11} \begin{pmatrix}<br />1 \\<br />0<br />\end{pmatrix} + a_{12} \begin{pmatrix}<br />0 \\<br />1<br />\end{pmatrix} + a_{13} \begin{pmatrix}<br />0 \\<br />0<br />\end{pmatrix} \]<br />Isso implica que:<br />\[ a_{11} = 0 \]<br />\[ a_{12} = 1 \]<br />\[ a_{13} = 0 \]<br /><br />Portanto, a matriz de \( T \) é:<br />\[ A = \begin{pmatrix}<br />1 & 0 & 0 \\<br />-1 & 1 & 0<br />\end{pmatrix} \]<br /><br />A transformação linear \( T \) é dada por:<br />\[ T \begin{pmatrix}<br />x \\<br />y \\<br />z<br />\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}<br />1 & 0 & 0 \\<br />-1 & 1 & 0<br />\end{pmatrix} \begin{pmatrix}<br />x \\<br />y \\<br />z<br />\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}<br />x \\<br />-y + z<br />\end{pmatrix} \]<br /><br />Portanto, a transformação linear \( T \) é:<br />\[ T(x, y, z) = (x, -y + z) \]