Questão 3. (2 pontos Sejam e_(1)=(1,0),e_(2)=(0,1),y_(1)=(2,5)ey_(2)=(-1,6) e seja T:R^2arrow R^2 a transformação linear que leva e_(1) em y_(1)e_(2) em y_(2) Encontre as imagens de (5,-3) e (x_(1),x_(2))

Para encontrar as imagens de $(5,-3)$ e $(x_{1},x_{2})$ pela transformação linear $T$, precisamos primeiro determinar a matriz representativa dessa transformação.<br /><br />Dado que $e_{1}=(1,0)$ e $e_{2}=(0,1)$ são os vetores base do espaço bidimensional $R^{2}$, e $y_{1}=(2,5)$ e $y_{2}=(-1,6)$ são os vetores imagem correspondentes, podemos escrever a matriz $A$ da transformação $T$ da seguinte forma:<br /><br />$A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 5 & 6 \end{bmatrix}$<br /><br />Agora, podemos calcular as imagens de $(5,-3)$ e $(x_{1},x_{2})$ aplicando a matriz $A$ a esses vetores.<br /><br />Para $(5,-3)$, temos:<br /><br />$A \begin{bmatrix} 5 \\ -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 5 & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 \\ -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \cdot 5 + (-1) \cdot (-3) \\ 5 \cdot 5 + 6 \cdot (-3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 13 \\ 17 \end{bmatrix}$<br /><br />Portanto, a imagem de $(5,-3)$ pela transformação $T$ é $(13,17)$.<br /><br />Para $(x_{1},x_{2})$, temos:<br /><br />$A \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 5 & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2x_{1} - x_{2} \\ 5x_{1} + 6x_{2} \end{bmatrix}$<br /><br />Portanto, a imagem de $(x_{1},x_{2})$ pela transformação $T$ é $(2x_{1} - x_{2}, 5x_{1} + 6x_{2})$.