10-Uetermine o valor de m que torna-2 nay la equaço |3 m-5| x^2-2(2 m+1) x+8=0

Para determinar o valor de \( m \) que torna a equação \( |3m-5| x^{2}-2(2m+1) x+8=0 \) verdadeira para todos os valores de \( x \), precisamos analisar as condições para que a equação seja válida para qualquer valor de \( x \).<br /><br />Primeiro, vamos considerar o caso em que \( |3m-5| \) é positivo, ou seja, \( 3m-5 > 0 \). Nesse caso, temos:<br /><br />\[ |3m-5| = 3m-5 \]<br /><br />Substituindo na equação, temos:<br /><br />\[ (3m-5) x^{2}-2(2m+1) x+8=0 \]<br /><br />Para que essa equação seja verdadeira para todos os valores de \( x \), o coeficiente de \( x^{2} \) deve ser zero, pois caso contrário, a equação não seria verdadeira para todos os valores de \( x \). Portanto, temos:<br /><br />\[ 3m-5 = 0 \]<br /><br />Resolvendo essa equação, encontramos:<br /><br />\[ 3m = 5 \]<br />\[ m = \frac{5}{3} \]<br /><br />Agora, vamos considerar o caso em que \( |3m-5| \) é negativo, ou seja, \( 3m-5 < 0 \). Nesse caso, temos:<br /><br />\[ |3m-5| = -(3m-5) = -3m+5 \]<br /><br />Substituindo na equação, temos:<br /><br />\[ (-3m+5) x^{2}-2(2m+1) x+8=0 \]<br /><br />Novamente, para que essa equação seja verdadeira para todos os valores de \( x \), o coeficiente de \( x^{2} \) deve ser zero. Portanto, temos:<br /><br />\[ -3m+5 = 0 \]<br /><br />Resolvendo essa equação, encontramos:<br /><br />\[ -3m = -5 \]<br />\[ m = \frac{5}{3} \]<br /><br />Portanto, o valor de \( m \) que torna a equação verdadeira para todos os valores de \( x \) é \( m = \frac{5}{3} \).