DETERMINE A SERIE DE FOURIER DN FUNGAD [ f(x)=1,-1 leq x<00,0 leq x<1, f x+2=f(x) ] A) sum_(k=1)^infty-(2)/((2 k-1) pi) operatorname(sen)((2 k-1) x) B) (1)/(2)+sum_(k=1)^infty-(2)/((2 k) pi) operatorname(sen)((2 k) x) c_(1) (1)/(2)+sum_(k=1)^infty (2)/((2 k-1) pi) operatorname(sen)((2 k-1) x) D) (1)/(2)+sum_(k=1)^infty-(2)/((2 k-1) pi) operatorname(sen)((2 k-1) x)

Para determinar a série de Fourier de uma função periódica, precisamos calcular os coeficientes de Fourier. A função dada é \( f(x) = 1 \) para \( -1 \leq x < 0 \) e \( f(x) = 0 \) para \( 0 \leq x < 1 \), com uma função periódica \( f(x+2) = f(x) \).<br /><br />Os coeficientes de Fourier são calculados usando a seguinte fórmula:<br /><br />\[<br />c_k = \frac{1}{2L} \int_{-L}^{L} f(x) e^{-i k x} \, dx<br />\]<br /><br />onde \( L \) é a metade da período, que neste caso é 1.<br /><br />Para a função dada, temos:<br /><br />\[<br />c_k = \frac{1}{2} \int_{-1}^{0} 1 \cdot e^{-i k x} \, dx + \frac{1}{2} \int_{0}^{1} 0 \cdot e^{-i k x} \, dx<br />\]<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />c_k = \frac{1}{2} \int_{-1}^{0} e^{-i k x} \, dx<br />\]<br /><br />Calculando a integral, obtemos:<br /><br />\[<br />c_k = \frac{1}{2} \left[ \frac{e^{-i k x}}{-i k} \right]_{-1}^{0} = \frac{1}{2} \left( \frac{e^{i k} - e^{-i k}}{-i k} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{2i \sin(k)}{-i k} \right) = -\frac{2 \sin(k)}{k}<br />\]<br /><br />Portanto, a série de Fourier é:<br /><br />\[<br />\sum_{k=1}^{\infty} -\frac{2 \sin(k)}{k} e^{-i k x}<br />\]<br /><br />Comparando com as opções fornecidas, a resposta correta é:<br /><br />D) \( \frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}-\frac{2}{(2 k-1) \pi} \operatorname{sen}((2 k-1) x) \)