32 sum _(n=1)^infty (1+3^n)/(2^n)

Para resolver essa soma infinita, podemos usar a fórmula da soma de uma série geométrica finita e a fórmula da soma de uma série armazenada.<br /><br />A série armazenada é dada por:<br /><br />$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1+3^n}{2^n}$<br /><br />Podemos reescrever essa série como:<br /><br />$\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{2^n} + \frac{3^n}{2^n}\right)$<br /><br />Agora, podemos separar essa série em duas séries geométricas:<br /><br />$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{2^n}$<br /><br />A primeira série é uma série geométrica finita com primeiro termo $a = \frac{1}{2}$ e razão $r = \frac{1}{2}$. Podemos calcular a soma dessa série usando a fórmula:<br /><br />$S = \frac{a}{1 - r} = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = 1$<br /><br />A segunda série é uma série geométrica infinita com primeiro termo $a = \frac{3}{2}$ e razão $r = \frac{3}{2}$. No entanto, essa série diverge, pois o valor absoluto da razão é maior que 1.<br /><br />Portanto, a soma da série armazenada é igual a 1.