12. Em uma prova de 10 questoes, o celudento deve escolher apenas 6 para resolver. De quantas maneiras diferentes ele poderá escolher estas 6 questōes? 13. De quantos modos diferentes é possivel formar uma comissão de 6 estudantes, em uma turma de 25 estudantes? 14. De quantos modos diferentes podemos formar triângulos de manelra que os vértices do triângulo coincidam com 3 vértices de um heptágono regular?

12. Para calcular o número de maneiras diferentes de escolher 6 questões de um total de 10, podemos usar a fórmula de combinação. A fórmula de combinação é dada por C(n, k) = n! / (k!(n-k)!), onde n é o número total de elementos e k é o número de elementos que queremos escolher. Nesse caso, n = 10 e k = 6. Aplicando a fórmula, temos C(10, 6) = 10! / (6!(10-6)!) = 210. Portanto, o celudento poderá escolher as 6 questões de 210 maneiras diferentes.<br /><br />13. Para calcular o número de modos diferentes de formar uma comissão de 6 estudantes em uma turma de 25 estudantes, podemos usar a fórmula de combinação novamente. Nesse caso, n = 25 e k = 6. Aplicando a fórmula, temos C(25, 6) = 25! / (6!(25-6)!) = 177500. Portanto, é possível formar uma comissão de 6 estudantes de 177500 modos diferentes.<br /><br />14. Para calcular o número de maneiras diferentes de formar triângulos cujos vértices coincidam com 3 vértices de um heptágono regular, precisamos considerar que um triângulo pode ser formado por qualquer combinação de 3 vértices não consecutivos. Um heptágono tem 7 vértices, e para formar um triângulo, precisamos escolher 3 vértices. O número de maneiras de escolher 3 vértices de 7 é dado por C(7, 3) = 7! / (3!(7-3)!) = 35. Portanto, existem 35 maneiras diferentes de formar triângulos cujos vértices coincidam com 3 vértices de um heptágono regular.